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Codifica numerica del segnale audio

dove P(x_i) = p(x_i) δ_xi rappresenta la probabilità che il segnale sia compreso nel quanto. Nell'ipotesi di p(x) ed f(x) simmetrici rispetto all'origine e considerando intervalli infinitesimi dx, la P(x_i) è esprimibile come p(x) dx e l'errore quadratico totale è pari a

$e_{q}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {V^{2}}{3n^{2}f'^{2}(x)}}p(x)dx={\frac {2V^{2}}{3n^{2}}}\int _{0}^{V}{\frac {p(x)}{f'^{2}(x)}}dx+2\int _{V}^{\infty }(x-V)^{2}p(x)dx$

$e_{q}^{2}=e_{g}^{2}+e_{s}^{2}$

(2.27)

Il primo termine dell’espressione dell’errore tiene conto della distorsione del segnale dovuto alla quantizzazione (rumore granulare di quantizzazione o, brevemente, rumore di quantizzazione), mentre il secondo termine riguarda la distorsione dovuta alla saturazione (rumore di sovraccarico).

Considerando il solo rumore di sovraccarico, la sua potenza

$e_{s}^{2}=2\int _{V}^{\infty }(x-V)^{2}p(x)dx$

(2.28)

dipende dal valore della V. Questo deve essere fissato in funzione della distribuzione di probabilità delle ampiezze del segnale p(x) in modo tale che il rumore introdotto dalla saturazione possa essere considerato trascurabile secondo qualche criterio. Se si considera, ad esempio, un segnale sinusoidale $x=Asin(\theta ),conA>Ve\theta \in (0,2n)$, e considerata uniforme la distribuzione di probabilità dell’argomento $\theta (p(\theta )=l/2\pi )$, la distribuzione di probabilità della x è pari a [Pap84]

$p(x)=2p(\theta ){\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{\pi {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}};|x|<A$

(2.29)

La potenza del rumore di saturazione è, quindi, pari a

$e_{q}^{2}=2\int _{V}^{\infty }(V-x)^{2}p(x)dx=2\int _{V}^{A}{\frac {(V-x)^{2}}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}dx$

(2.30)

Con la sostituzione