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2 - Rappresentazione numerica dei segnali

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$c_{k}={\frac {1}{T}}=\int _{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-j{\frac {k2\pi }{T}}t}dt;x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{j{\frac {k2\pi }{T}}T}$

(2.15)

Nel nostro caso t=Ω e T/2=Ω_B. Inoltre, in un periodo la X_p(Ω) è descritta dalla X_c(Ω), per cui i coefficienti e lo sviluppo in serie si ottengono

$c_{k}={\frac {1}{2\Omega _{B}}}=\int _{-\Omega _{B}}^{\Omega _{B}}X_{c}(\Omega )e^{-j{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\Omega }d\Omega ;X_{c}(\Omega )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{j{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\Omega }$

(2.16)

Considerando l’antitrasformata della X_c(Ω) (ricordando che questa è nulla al di fuori di Ω_B)

$x_{c}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X_{c}(\Omega )e^{j\Omega t}d\Omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\Omega _{B}}^{\Omega _{B}}X_{c}(\Omega )e^{j\Omega t}d\Omega$

(2.17)

e sostituendo alla X_c(Ω) il suo sviluppo in serie, si ottiene

$x_{c}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\Omega _{B}}^{\Omega _{B}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{j{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\Omega }e^{j\Omega t}d\Omega ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\int _{-\Omega _{B}}^{\Omega _{B}}e^{j\left(t+{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\right)\Omega }d\Omega$

(2.18)

Il calcolo dell’integrale fornisce

$\int _{-\Omega _{B}}^{\Omega _{B}}e^{j\left(t+{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\right)\Omega }d\Omega ={\frac {1}{j\left(t+{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\right)}}\left[e^{j\left(t+{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\right)\Omega }\right]_{-\Omega _{B}}^{\Omega _{B}}={\frac {e^{j\left(t+{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\right)\Omega _{B}}-e^{j\left(t+{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\right)-\Omega _{B}}}{j\left(t+{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\right)}}$

$={\frac {2sin\left[\Omega _{B}\left(t+{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\right)\right]}{t+{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}}}=2\Omega _{B}sinc\left[\Omega _{B}\left(t+{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\right)\right]$

(2.19)

quindi

$x_{c}(t)={\frac {\Omega _{B}}{\pi }}\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}sinc\left[\Omega _{B}\left(t+{\frac {k\pi }{\Omega _{B}}}\right)\right]$

(2.20)