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2 - Rappresentazione numerica dei segnali

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Il campionamento, dunque, provoca la periodicizzazione in frequenza dello spettro del segnale originario, con un passo pari alla f_s. Per ricostruire il segnale continuo dai suoi campioni è necessario riottenere lo spettro del segnale continuo da quello del segnale campionato, cioè eliminare le repliche introdotte. Se la x_c(t) è a banda limitata in un intervallo [-Ω_B, Ω_B], l’eliminazione delle repliche è facilmente ottenibile tramite un filtraggio passa basso, purché queste non vadano a sovrapporsi alla X_c(f). Dato che la posizione delle repliche è determinata dalla frequenza di campionamento, è necessario scegliere una frequenza di campionamento che sia almeno doppia della banda del segnale (teorema di Nyquist)

$\Omega _{s}={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f_{s}>2\Omega _{B}$

(2.10)

Per il filtro passa basso di ricostruzione, infine, la frequenza di taglio viene fissata alla metà della frequenza di campionamento (frequenza di Nyquist). Nel caso di segnali limitati in banda, quindi, è possibile ricostruire segnale perfettamente identico all'originale, per cui il segnale x_c(t) può essere univocamente determinato dal segnale x_s(t).

Il filtro di ricostruzione è anche detto di interpolazione. Infatti, la istruzione può essere interpretata nel dominio del tempo come un’interpolazione tra campioni adiacenti (fig. 2.5). Per capire quale tipo di interpolazione venga utilizzata è necessario esprimere nel dominio del tempo l’effetto del prodotto in frequenza tra lo spettro del segnale campionato e la funzione di ferimento del filtro. Se si considera un filtro passa basso ideale, la funzione di trasferimento del filtro è data da

$H(\Omega )={\begin{cases}T&per|\Omega |<\pi /T\\0&altrove\end{cases}}$

(2.11)

con una risposta impulsiva pari a

$h_{r}(t)={\frac {sin(t\pi /T)}{t\pi /T}}=sinc\left({\frac {t\pi }{T}}\right)$

(2.12)

Il segnale ricostruito x_r(t), dunque, si ottiene trasformando il prodotto dei due spettri in frequenza nella convoluzione nel dominio del tempo delle loro antitrasformate