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Codifica numerica del segnale audio

È infine possibile trasformare il segnale PAM in una sequenza discreta x(n) tale che

$x(n)=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{nT-\epsilon }^{nT+\epsilon }x_{s}(t)dt$

(2.5)

Per comprendere gli effetti del campionamento è vantaggioso passare ad una rappresentazione del segnale campionato nel dominio della frequenza. Dato che il segnale campionato è dato dal prodotto di due segnali, il suo spettro è ottenibile dalla convoluzione delle loro trasformate. Per il calcolo della trasformata S(f) della funzione di campionamento, conviene sviluppare la serie periodica di δ(t) in serie di Fourier. I coefficienti dello sviluppo sono pari a

$c(k)={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-jk\Omega _{s}t}dt={\frac {1}{T}};\Omega _{s}={\frac {2\pi }{T}}$

(2.6)

per cui la rappresentazione nel tempo del treno di delta è dato da

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{jn\Omega _{s}t}$

(2.7)

Calcolando la trasformata, si ha che la trasformata della costante 1/T è una δ(f), mentre la sommatoria di esponenziali porta a repliche della δ(f) traslate in frequenza, cioè

$S(\Omega )={\frac {2\pi }{T}}\sum _{n}\delta (\Omega -n\Omega _{s})$

(2.8)

La rappresentazione in frequenza della funzione campionatrice, quindi, risulta essere ancora un treno di delta. Effettuando la convoluzione con lo spettro X c (£2) del segnale continuo, si ottiene la rappresentazione in frequenza X s (£l) del segnale campionato. Dato che la convoluzione di un segnale con la delta fornisce il segnale stesso, la convoluzione del segnale con un treno di delta fornisce una serie di sue repliche

$X_{s}(\Omega )={\frac {1}{2\pi }}X_{c}(\Omega )\otimes S(\Omega )={\frac {1}{T}}\sum _{k}X_{c}(\Omega -k\Omega _{s})$

(2.9)