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| E - Richiami su trasformate numeriche | 369 |
funzione stessa a multipli di un intervallo T (interpretabile come periodo di campionamento) (fig. E.2). Rappresentare una funzione tramite una serie (infinita) corrisponde a campionare la funzione stessa senza un preventivo filtraggio anti aliasing. Lo spettro della sequenza ottenuta dalla DTFT è quindi la ripetizione periodica dello spettro della funzione (eventualmente infinito) nell'intorno della frequenza F = 1/T, con un suo scalamento per la costante 1/T. A tale periodicizzazione è associato un fenomeno di aliasing. Passando alla DFT, considerare una serie finita di N elementi corrisponde a moltiplicare la serie precedentemente ottenuta dal campionamento con una rect(t) di ampiezza L = N*T. Dal punto di vista della rappresentazione in frequenza, tale troncamento corrisponde ad una convoluzione della DTFT con una sinc(f) (il cui primo zero è posto ad una frequenza pari a 1/L), che provoca una distorsione dello spettro tanto maggiore quanto più breve è la serie. La DFT di una serie di N elementi produce N campioni in frequenza ad intervalli F/N = 1/L. Tale campionamento in frequenza si riflette nella periodicizzazione nel tempo ad intervalli pari ad L. Fissato T, è possibile incrementare la definizione della rappresentazione in frequenza incrementando N tramite l’accodamento alla serie di campioni nulli (zero padding). Riducendo T, invece, si allontanano le repliche dello spettro, permettendo l’osservazione, di un maggiore range di frequenze (fig. E.3).
La diffusione della DFT è legata all'esistenza di una famiglia di algoritmi (Fast Fourier Transform: FFT) in grado di ridurre la complessità computazionale di una DFT da N 2 a N log 2 N: infatti, definita la DFT di un segnale come
| (E.11) |
dove N è il numero di campioni, W N = eri ^ la radice N-esima dell’unità, f(n) l’n-esimo campione del segnale e F(k) il k-esimo campione dello spettro del segnale, l’applicazione diretta della (E.11) comporta l’effettuazione di N prodotti tra i campioni e le potenze di W N per ciascuno degli N campioni dello spettro, da cui la complessità di N 2 ricordata.
La FFT fornisce N campioni dello spettro del segnale in corrispondenza di frequenze, sia positive che negative, esprimibili come sottomultiple della frequenza di campionamento. Per segnali periodici, ciò vuol dire che campio-
