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E - Richiami su trasformate numeriche

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della serie di Fourier è ricondotto alla soluzione del sistema di N equazioni espresse dalla definizione, una per ogni valore di m.

Esistendo una relazione diretta tra coefficienti della serie e valori dello spettro, le equazioni precedenti stabiliscono una corrispondenza tra N campioni di una sequenza x(n) e N campioni di una trasformata X(k), per cui la serie di Fourier per segnali tempo discreto è anche interpretabile come trasformata discreta di Fourier (DFT), definita come:

$x(n)={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)\ W_{N}^{-kn}$

$X(k)=\sum _{k=0}^{N-1}x(n)\ W_{N}^{kn}$

(E.9)

Es.: data la serie x(n) = {0,2, 1, 1}, la sua DFT è data da

$W_{4}^{kn}=e^{-j{\frac {2\pi }{4}}kn}=cos\left({\frac {2\pi }{4}}kn\right)-j\ sin\left({\frac {2\pi }{4}}kn\right)$

$W_{4}^{0}=cos\left(0\right)-j\ sin\left(0\right)=1$

$W_{4}^{1}=cos\left({\frac {\pi }{2}}\right)-j\ sin\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-j$

$W_{4}^{2}=cos\left(\pi \right)-j\ sin\left(\pi \right)=-1$

$W_{4}^{3}=cos\left({\frac {2}{2}}\pi \right)-j\ sin\left({\frac {3}{2}}\pi \right)=+j$

$X(0)=x(0)W_{4}^{0}+x(1)W_{4}^{0}+x(2)W_{4}^{0}+x(3)W_{4}^{0}=4$

$X(1)=x(0)W_{4}^{0}+x(1)W_{4}^{1}+x(2)W_{4}^{2}+x(3)W_{4}^{3}=1-j$

$X(2)=x(0)W_{4}^{0}+x(1)W_{4}^{2}+x(2)W_{4}^{0}+x(3)W_{4}^{2}=2$

$X(3)=x(0)W_{4}^{0}+x(1)W_{4}^{3}+x(2)W_{4}^{2}+x(3)W_{4}^{1}=1+j$

(E.10)

È possibile ora analizzare il legame esistente tra lo spettro di una funzione continua e la DFT di una sequenza finita, ottenuta valutando la