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E - Richiami su trasformate numeriche

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frequenza. Ciò si ripercuote nell’antitrasformata, nella quale gli estremi di integrazione dell’integrale di definizione sono limitati in un intervallo di ampiezza pari a 2p

$x(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })\ e^{j\omega n}d\omega$

(E.4)

Es.: si consideri la DTFT di una rect(n) discreta

$x(n)={\begin{cases}1&0\leq n\leq N-1\\0&altrove\end{cases}}$

(E.5)

la sua DTFT è data da

$X\left(e^{j\omega }\right)=\sum _{n=0}^{N-1}e^{-j\omega }={\frac {1-e^{-jN\omega n}}{1-e^{-j\omega }}}={\frac {sin(N\omega /2)}{sin(\omega /2)}}e^{-j(N-1){\frac {\omega }{2}}}$

(E.6)

II modulo della DTFT è dato dal solo rapporto tra sinusoidi, che è una funzione periodica, il cui primo zero è in ω = 2π/N. L’esponenziale è relativo alla sola traslazione della rect(n), che non risulta centrata nell'origine. È interessante confrontare questa DTFT con la trasformata di Fourier di un’analoga rect(t) continua, data da

$X\left(e^{j\omega }\right)=\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}A\ e^{-j\omega t}dt=A{\frac {sin(T\omega /2)}{\omega /2}}$

(E.7)

cioè una sinc(ω) il cui primo zero è in ω = 2π/T. Diagrammando le due funzioni in modo che gli zeri coincidano (che simula l’ottenimento della rect(n) dalla rect(t) campionata con N punti) si nota l’effetto dell’aliasing che fa discostare la DTFT dalla FT tanto più quanto ci si allontana dall'origine (fig. E.1).

Come la DTFT è l’analoga della trasformata, data una sequenza di N elementi periodica con periodo T, o una sequenza di durata finita periodicizzata, è possibile introdurre nel caso discreto l’equivalente della serie di Fourier (Discrete Fourier Series: DFS) ripetendo la sostituzione della variabile continua t con l’indice n. A causa della periodicità delle sequenze sinusoidali,