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Codifica numerica del segnale audio

Appendice E

RICHIAMI SU TRASFORMATE NUMERICHE

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E.1 TRASFORMATA DI FOURIER DISCRETA

Data una funzione x(t) continua in -∞ < t < ∞, la sua trasformata ed antitrasformata di Fourier è data da

$X(\omega )=F[x(t)]\equiv {\sqrt {\frac {1}{2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\omega t}dt$

$x(t)=F_{-1}[X(\omega )]\equiv {\sqrt {\frac {1}{2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )\ e^{j\omega t}d\omega$

(E.1)

La trasformata di Fourier può essere estesa dall’analisi dei segnali continui ai segnali a tempo-discreto (Discrete Time Fourier Transform: DTFT) tramite la sostituzione della variabile continua t con l’indice n, ottenendo

$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\ e^{-j\omega n}$

(E.2)

La trasformata di Fourier rappresenta la sequenza x(n) come sovrapposizione di esponenziali complessi e^jωn di ampiezza

${\frac {X(e^{j\omega })d\omega }{2\pi }}$

(E.3)

ed è quindi una funzione complessa continua. Inoltre, data la periodicità dell’esponenziale complesso, la DTFT risulta essere una funzione periodica in