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Codifica numerica del segnale audio

L’esser riusciti ad eliminare il secondo termine dell’equazione precedente vuol dire che l’aliasing introdotto nel filtro di sintesi da parte della decimazione è cancellato dalle repliche introdotte dall’interpolazione nel filtro di sintesi. Nel dominio del tempo, le risposte impulsive dei filtri sono date da

${\begin{cases}h_{0}(n)=h(n)\\h_{1}(n)=(-1)^{n}h(n)\end{cases}};{\begin{cases}g_{0}(n)=2h(n)\\g_{1}(n)=-2(-1)^{n}h(n)\end{cases}}$

(D.56)

Rimane una sola incognita, data da H(co), per la determinazione della quale si possono seguire differenti criteri [Cro83]. Una classe di filtri particolarmente diffusa è quella dei filtri FIR a fase lineare. Il vantaggio dell’assenza di distorsioni di fase risulta particolarmente utile nel caso di connessioni in cascata, eliminando la necessità di equalizzazioni ad ogni stadio. La risposta impulsiva di un filtro FIR a fase lineare risulta essere simmetrica, per cui

$h(n)=h(N-1-n);\ n=0,1,\ldots ,N-l$

(D.57)

e la funzione di trasferimento è data da una funzione reale ed un termine di fase lineare

$H(\omega )=H_{r}(\omega )e^{-j\omega {\frac {N-1}{2}}}$

(D.58)

La funzione di trasferimento complessiva nel caso di N pari e dispari risulta

${\begin{cases}{\hat {X}}(\omega )=\left[|H(\omega )|^{2}+|H(\omega +\pi )|^{2}\right]e^{j\omega (N-1)}X(\omega );\ N\ pari\\{\hat {X}}(\omega )=\left[|H(\omega )|^{2}-|H(\omega +\pi )|^{2}\right]e^{j\omega (N-1)}X(\omega );\ N\ dispari\end{cases}}$

$A(\omega )=|H(\omega )|^{2}+|H(\omega +\pi )|^{2}=1$

(D.59)

Dato che con N dispari, la funzione di trasferimento si annulla per ω = π/2 in quanto H(π/2) = H(3π/2), si utilizzano solamente filtri con N pari. Fissato l’ordine del filtro, l’unico filtro che rende unitaria la funzione di trasferimento complessiva è il filtro

$|H(\omega )|^{2}=cos^{2}\alpha \omega$

(D.60)