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Codifica numerica del segnale audio

dove

${\begin{cases}H_{k}(\omega )=H(\omega -\omega _{k})\\Fk(\omega )=F(\omega -\omega _{k})\end{cases}}$

(D.42)

sono i filtri di analisi e sintesi della banda k-esima. Mentre il primo termine di tale equazione implica che la funzione di trasferimento complessiva sia unitaria, il secondo impone funzioni passa basso ideali, approssimabili solo con filtri di dimensione elevata. In conclusione, non è possibile raggiungere compietamente la cancellazione dell’aliasing né nel dominio del tempo né in frequenza.

Tutte le relazioni precedenti sono state ricavate per una struttura even-stacking del banco di filtri. Per un’organizzazione odd-stacking deve risultare

$\omega _{k}={\frac {2\pi }{K}}\left(k+{\frac {1}{2}}\right)$

(D.43)

Si è dimostrato come sia il filtro di analisi che quello di sintesi sono legati ad un mappaggio tramite DFT dal dominio del tempo alla frequenza e viceversa. Il mappaggio tramite DFT, però, è sempre tale da legate l’origine temporale n = 0 a quella in frequenza co = 0. Volendo permettere il mappaggio tra due qualsiasi origini nei due domini, è possibile definire una trasformata discreta di Fourier generalizzata come

${\begin{cases}X_{k}^{GDFT}=\sum _{n=0}^{K-1}x(n)\ e^{-j(k+k_{0})(n+n_{0}){\frac {2\pi }{K}}}\\x(n)={\frac {1}{K}}\sum _{n=0}^{K-1}X^{GDFT}\ e^{j(k+k_{0})(n+n_{0}){\frac {2\pi }{K}}}\end{cases}}$

(D.44)

dove no e ko sono le nuove origini nel tempo ed in frequenza. Applicando tale generalizzazione a banchi di filtri di analisi e sintési che, nel caso di struttura odd-stacking, sono caratterizzati ko = 1/2 , si ottiene

${\begin{cases}X_{k}^{GDFT}(m)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h(mM-n)\ x(n)\ e^{-j(n+n_{0})\left(k+{\frac {1}{2}}\right){\frac {2\pi }{K}}}\\x(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f(n-mM){\frac {1}{K}}\sum _{k=0}^{K-1}X_{k}^{GDFT}(m)\ e^{j(n+n_{0})\left(k+{\frac {1}{2}}\right){\frac {2\pi }{K}}}\end{cases}}$

(D.45)