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D - Richiami su filtri numerici

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Questa equazione ci permette di definire quali siano le condizioni di perfetta ricostruzione del segnale. Affinché sia valida l'uguaglianza x(n) = x(n),dalla prima sommatoria si ricava che

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{m}(n)\ h_{m}(-n)=1$

(D.38)

il che indica che la somma del prodotto delle risposte impulsive traslate deve essere unitaria per qualsiasi valore di n. Dalla seconda sommatoria, che è necessario annullare, si comprende come sia necessario annullare le infinite repliche poste ad intervalli di K campioni, introdotte dalla decimazione. Ciò è ottenibile imponendo

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(n)\ h_{m}(sK-n)=0;\ s\neq 0$

(D.39)

il che si raggiunge solo con filtri di lunghezza inferiore a K. Dato che la lunghezza dei filtri risultante da tale vincolo sarebbe estremamente modesta, essi non risulterebbero soddisfacenti dal punto di vista dell’analisi in frequenza in quanto poco selettivi. Passando, infatti, all’analisi in frequenza, è conveniente considerare un modello a filtri passa banda complessi, semplificato eliminando le modulazioni terminali (che si elidono) e sostituendo la decimazione/interpolazione con un modulatore che moltiplica il segnale per la sequenza

$s(n)={\begin{cases}1&n=\pm mM,\ m\ intero\\0&altrimenti\end{cases}}$

(D.40)

La rappresentazione in frequenza del legame ingresso/uscita che si ottiene è pari a

${\hat {X}}(\omega )=X(\omega ){\frac {1}{K}}\sum _{k=0}^{K-1}F_{k}(\omega )\ H_{k}(\omega )+\sum _{l=0}^{K-1}X\left(\omega -{\frac {2l\pi }{M}}\right){\frac {1}{K}}\sum _{k=0}^{K-1}F_{k}(\omega )\ H_{k}\left(\omega -{\frac {2l\pi }{M}}\right)$

(D.41)