Pagina:Codifica numerica del segnale audio.djvu/373

D - Richiami su filtri numerici

355

Se si definisce il p-esimo ramo dell’equivalente filtro polifase passa basso come

$P_{\rho }(m)=h(mM-\rho )$

(D.31)

allora è possibile riscrivere il filtro polifase della banda k-esima come

$P_{\rho ,k}(m)=p_{\rho }(m)\cdot e^{-j{\frac {2k\rho \pi }{M}}}$

(D.32)

Sostituendo nelle equazioni precedenti ed indicando con q_ρ(m) il ρ-esimo ramo del polifase passa basso equivalente del filtro di sintesi, si ottiene

${\begin{cases}X_{k}(m)=\sum _{\rho =0}^{M-1}\left[\sum _{r=-\infty }^{\infty }p_{\rho }(r)\ x_{\rho }(m-r)\right]e^{-j{\frac {2k\rho \pi }{M}}}\\{\hat {x}}_{k}(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }q_{\rho }(n-m)\left[{\frac {1}{M}}\sum _{k=0}^{M-1}{\hat {X}}_{k}(m)\ e^{j{\frac {2k\rho \pi }{M}}}\right]\end{cases}}$

(D.33)

Fig. D.7 - Banco di filtri polifase.

Dall'analisi di tali relazioni, si nota come l’efficienza computazionale nasca, innanzitutto, dal poter condividere il filtro pp(m) tra le differenti bande, Inoltre, si nota come l’uscita del filtro di analisi sia ottenibile come DFT delle uscite dei singoli filtri polifase e che il filtro di sintesi si ottiene applicando i filtri polifase alla DFT inversa degli X_k. Un ulteriore incremento di efficienza computazionale nasce, quindi, dall'uso di FFT.