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D - Richiami su filtri numerici

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ciascun ramo del filtro polifase risulterà con funzione di trasferimento piatta nell'intervallo [-π, πJ. L’unica differenza tra i differenti rami è quindi data dalla fase, da cui il nome del filtro.

Tipicamente la struttura di un filtro polifase non può essere semplificata ulteriormente sfruttando eventuali simmetrie. Infatti, pur utilizzando una h(n) simmetrica, le L risposte impulsive dei rami del filtro polifase non lo sono. D’altra parte, l’indipendenza tra i vari rami del filtro, ne rende possibile un'implementazione hardware parallela. Per quanto riguarda la decimazione, la relazione

$y(m)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)\ x(mM-k)$

(D.14)

può essere riscritta come

$y(m)=\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{r=-\infty }^{\infty }h(rM+k)\ x[(m-r)M-k]$

(D.15)

Definendo i coefficienti del filtro polifase di decimazione come

$p_{k}^{d}(n)=h(nM+k);\ k=0,1,\ldots ,M-1$

(D.16)

si ottiene

$y(m)=\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{r=-\infty }^{\infty }p_{k}^{d}(r)\ x_{k}(m-r)$

(D.17)

dove x_k(n) = x(nM - k) è l’ingresso del ramo k-esimo del filtro. Di tali filtri è possibile dare un’interpretazione tramite un commutatore che preleva campioni nel caso della interpolazione e distribuisce campioni nel caso della decimazione ruotando in senso antiorario. Ciò vuol dire, ad esempio, che nella decimazione il primo campione ingresso viene assegnato al ramo di ordine maggiore e così via. È possibile realizzare strutture con senso di rotazione del commutatore orario definendo i filtri polifase come

${\begin{cases}p_{k}^{j}(n)=h(nL-k);\ k=0,1,\ldots ,L-l\\p_{k}^{d}(n)=h(nM-k);\ k=0,1,\ldots ,M-l\end{cases}}$

(D.18)