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D - Richiami su filtri numerici

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Considerando per il momento il problema della decimazione, un inconveniente che si incontra implementando direttamente tale filtro è che esso lavora alla frequenza del segnale sovracampionato, mentre sarebbe auspicabile che lavorasse alla frequenza del segnale decimato. Per ottenere ciò è possibile anticipare l’operazione di decimazione prima del prodotto con i coefficienti del filtro come

$y(m)=\sum _{k=0}^{N-l}h(k)\ x(Mm-k)$

(D.11)

ottenendo un filtro con clock pari a quello dell’uscita. Imponendo poi che i filtri siano a fase lineare e quindi con risposta impulsiva risulta simmetrica, la lunghezza del filtro può essere dimezzata in quanto

$h(k)=h(N-l-k)\to y(n)=\sum _{k=0}^{N-l}h(k)\left\{x(n-k)+x[n-(N-1-k)]\right\}$

(D.12)

Strutture analoghe a quelle presentate nel caso della decimazione possono essere realizzate nel caso di interpolazione. In ogni caso, volendo avere filtri sufficientemente selettivi, le loro dimensioni risultano essere notevoli. L’efficienza computazionale può essere incrementata riducendo la lunghezza del filtro tramite filtri polifase (fig. D.3). È stato mostrato come i campioni prodotti da un interpolatore possano essere pensati come l’uscita di uno di L filtri in parallelo, ciascuno con risposta impulsiva g m (n). Dato che la risposta impulsiva di ciascun ramo del filtro coincide con una versione decimata della h(n), che è diversa da zero solo negli istanti L x T ed è nulla altrimenti, è possibile eliminare i contributi di tali campioni nulli considerando un insieme di L filtri di dimensioni N/L tali che

$p_{k}^{j}(n)=h(k+nL);{\begin{cases}k=0,1,\ldots ,L-1\\n=0,l,\ldots ,{\frac {N}{L}}-1\end{cases}}$

(D.13)

Ovviamente è opportuno che la lunghezza N del filtro prototipo sia multipla di L. Con una struttura polifase, per ogni campione dell’ingresso vengono prodotti L campioni d’uscita, uno per ogni ramo del filtro. L-l di tali