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Codifica numerica del segnale audio

di un fattore L del segnale PAM corrispondente alla x(n), ottenuto introducendo dei campioni nulli nel segnale

$w(m)={\begin{cases}x\left({\frac {M}{L}}\right)&m=0,\pm L,\pm 2L,\ldots \\0&altrimenti\end{cases}}$

(D.6)

Dal punto di vista della rappresentazione in frequenza, ciò non altera lo spettro del segnale, coincidente con quello del corrispondente segnale PAM, il quale presenta repliche a partire dalla pulsazione ω = π/L. Per passare allo spettro della x(t) sovracampionata con un fattore L è necessario eliminare tali repliche tramite un filtraggio passa basso, con frequenza di taglio corrispondente a ω = π/L. Nel tempo, tale filtraggio si traduce in un’interpolazione che genera i campioni mancanti nella x(n). Per mantenere nel segnale sovracampionato l’ampiezza del segnale originario, il filtro di interpolazione deve avere un guadagno non unitario, ma pari ad L. Dato che, nel filtraggio, la risposta impulsiva h(n) si trova ad essere sistematicamente combinata con campioni nulli della w(n), la sommatoria di convoluzione può essere semplificata come

$y(m)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }w(k)\ h(m-k)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(k)h(m-kL)$

(D.7)

Analizzando quali campioni della h(n) vengono interessati dalla sommatoria, si nota che vengono utilizzati periodicamente L suoi sottoinsiemi g_m, tra loro scalati di un campione (fig. D.l). Tale sfasamento corrisponde ad un offset temporale che che è una frazione del periodo T pari a

$\delta _{m}=\left[{\frac {m}{L}}\right]_{mod\ L}$

(D.8)

E quindi possibile riscrivere l’equazione che fornisce la y(m) come l’uscita di un filtro tempo variante con risposta impulsiva g m, tale che

${\begin{cases}g_{m}=h\left[(n+\delta _{m})T\right]\\y(m)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g_{m}(n)x\left({\frac {m}{L}}-n\right)\end{cases}}$

(D.9)