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D - Richiami su filtri numerici

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Inoltre, data la linearità del filtraggio, è possibile considerare separatamente i due casi di interpolazione ( M = 1, L > 1 ) e di decimazione (M>1,L=1). Il caso più generale { M > 1,L> 1 } è poi risolvibile come cascata di una interpolazione seguita da una decimazione.

Nel caso della decimazione, il ricampionamento si ottiene semplicemente eliminando M-l campioni del segnale originario ogni M. Al fine di evitare aliasing, il segnale dovrebbe essere preventivamente limitato in banda tramite un filtro passa basso ideale con funzione di trasferimento

$H(\omega )={\begin{cases}1&|\omega |\leq {\frac {\pi }{M}}\\0&|\omega |>{\frac {\pi }{M}}\end{cases}}$

(D.3)

Indicando con h(n) la corrispondente risposta impulsiva, l’uscita si ottiene come

${\begin{cases}w(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)\ x(n-k)\\y(m)=w(Mm)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h(n)\ x(mM-n)\end{cases}}$

(D.4)

Con una trasformazione di variabili, l’equazione precedente può essere riscritta come

$y(m)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h(mM-n)\ x(n)$

(D.5)

dalla quale si nota come i campioni derivanti dalla decimazione si ottengano traslando progressivamente la risposta impulsiva del filtro passa basso con un passo pari ad M campioni. Dal punto di vista della rappresentazione in frequenza, l’operazione di decimazione riespande lo spettro del segnale, limitato dal filtraggio nell’intervallo [-π/M, π/M], ad occupare tutto l’intervallo [-π, π].

Per eseguire, invece, un’interpolazione, è necessario introdurre L-l campioni ogni due campioni adiacenti del segnale originale. Un modo per ottenere questo risultato è quello di considerare una versione sovracampionata