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Codifica numerica del segnale audio

dove le dimensioni di G₀ sono pari a 2 * (p+1), con p ordine del predittore. Si esegue poi il prodotto V₁G₁ e si definisce G₂ come il risultato della precedente operazione con la seconda riga traslata di un posto verso destra. Si ripete il procedimento per p passi, ottenendo al generico passo m-esimo le seguenti relazioni ricorsive

$k^{(m)}={\frac {G_{m}(1,m+1)}{G_{m}(2,m+1)}}$

$V_{m}={\begin{bmatrix}1&-k^{(m)}\\k^{(m)}&1\end{bmatrix}}$

C.93

Seguendo passo-passo Io svolgimento dell’algoritmo di Schür, si può facilmente verificare che al passo m-esimo l’elemento G_m(2,m+1), ovvero il denominatore della relazione che definisce K^(m), corrisponde al termine e^(m-1) nell'algoritmo di Levinson-Durbin. Ad esempio, se implementiamo la stima dei parametri di un predittore di ordine 3 la matrice G 0 è definita come

$V_{m}={\begin{bmatrix}0&R(l)&R(2)&R(3)\\R(0)&R(1)&R(2)&R(3)\end{bmatrix}}$

C.94

Si ottiene poi:

$G_{1}(2,2)=R(0)=e^{(0)}$

$G_{2}(2,3)=R(0)-k^{(1)}R(l)=[1-(k^{(1)})^{2}]R(0)=e^{(1)}$

$G_{3}(2,4)=R(0)-k^{(1)}R(l)-k^{(2)}[R(2)-k^{(1)}R(l)]=R(0)[1-(k^{(1)})^{2}][l-(k^{(2)})^{2}]=e^{(2)}$

C.95

dove, al generico passo m-esimo, si è ricavato R(m) invertendo la relazione che definisce k^(m) nell'algoritmo di Levinson Durbin.

Si nota anche che al generico passo m-esimo dell’algoritmo di Schür, la matrice G_m presenta le prime m colonne nulle, il che può essere sfruttato per ridurre sia la complessità di calcolo che l’occupazione di memoria.

Infatti, la versione dell’algoritmo di Schifi proposta dallo standard GSM organizza le informazioni contenute nelle matrici G m in due vettori (K e P) ed evita, ad ogni passo, di aggiornarne quegli elementi che non apportano