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Codifica numerica del segnale audio

Tale espressione rappresenta una relazione ricorsiva della funzione d’errore della predizione in avanti. Sostituendo l’espressione ricorsiva della A(z) nella definizione della B(z) si ottiene

$B^{(m)}(z)=z^{-m}A^{(m-1)}\left(z^{-1}\right)X(z)-k^{(m)}A^{(m-1)}(z)X(z)$

$=z^{-1}B^{(m-1)}(z)X(z)-k^{(m)}E^{(m-1)}(z)$

(C.69)

che, antitrasformata, fornisce la relazione ricorsiva della funzione d’errore della predizione all'indietro

$b^{(m)}(n)=b^{(m-1)}(n-1)-k^{(m)}e^{(m-1)}(n)$

(C.70)

Se si traccia il diagramma di flusso di tale algoritmo si ottiene una struttura a traliccio (lattice), da cui il nome dell’algoritmo (fig. C.2). È quindi possibile il calcolo ricorsivo delle due funzioni d’errore. Le condizioni iniziali sono quelle per un predittore di ordine zero, cioè senza alcuna predizione e quindi

$e^{(0)}(n)=b^{(0)}(n)=x(n)$

(C.71)

In forma matriciale le relazioni ricorsive in z sono esprimibili come

${\begin{bmatrix}A^{(m)}(z)\\B^{(m)}(z)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k^{(m)}\\k^{(m)}z^{-1}&z^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{(m-1)}(z)\\B^{(m-1)}(z)\end{bmatrix}}$

(C.72)

Per il calcolo dei coefficienti k( m ) si impone la simultanea minimizzazione degli errori quadratici di predizione in avanti e all'indietro

${\begin{cases}E\left\{\left[e^{(m-1)}(n)\right]^{2}\right\}=\sum _{i=0}^{n-1}\left[e^{(m-1)}(i)\right]^{2}\\E\left\{\left[b^{(m-1)}(n)\right]^{2}\right\}=\sum _{i=0}^{n-1}\left[b^{(m-1)}(i)\right]^{2}\end{cases}}$

(C.73)

La minimizzazione, ottenuta annullando le derivate rispetto ai k