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C - Algoritmi a blocchi per il filtraggio adattativo

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$=1-\sum _{j=1}^{m-1}\left[\alpha _{j}^{(m-1)}-k^{m}\alpha _{m-j}^{(m-1)}\right]z^{j}-\alpha _{m}^{(m)}z^{m}$

$=\left[1-\sum _{j=1}^{m-1}\alpha _{j}^{(m-1)}z^{j}\right]-\left[\alpha _{m}^{(m)}z^{-m}-\sum _{j=1}^{m-1}k^{m}\alpha _{m-j}^{(m-1)}z^{-j}\right]$

$A^{(m)}(z)=A^{(m-1)}(z)-k^{(m)}z^{m}A^{(m-1)}\left(z^{-1}\right)$

(C.63)

Sostituendo nell'espressione dell’errore si ottiene

$E^{(m)}(z)=A^{(m-1)}(z)X(z)-k^{(m)}z^{-m}A^{(m-1)}\left(z^{-1}\right)X(z)$

(C.64)

Il primo termine del secondo membro rappresenta la trasformata z della funzione d’errore di un predittore di ordine “m - 1”. Tale predittore stima il campione x(n) utilizzando i campioni [ x(n - m)... x(n -1) ] e verrà nel seguito indicato come predittore in avanti. Per il secondo termine si può dare un’interpretazione simile se si definisce

$B^{(m)}(z)=z^{-m}A^{(m)}\left(z^{-1}\right)X(z)$

(C.65)

che ha un’antitrasformata del tipo

$b^{(m)}(n)=x(n-m)-\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}^{(m)}x(n+k-m)$

(C.66)

Questo è interpretabile come l’errore di un predittore che tenta di stimare x(n - m) in funzione degli “m-1” campioni [x(n m 1)... x(n) ]. Tale predittore verrà nel seguito indicato come predittore all'indietro. Sostituendo la B(z) nella E(z) si ottiene

$E^{(m)}(z)=E^{(m-1)}(z)-k^{(m)}B^{(m-1)}\left(z^{-1}\right)$

(C.67)

che, antitrasformata fornisce

$e^{(m)}(n)=e^{(m-1)}(n)-k^{(m)}b^{(m-1)}(n-1)$

(C.68)