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Codifica numerica del segnale audio

Per descrivere l’algoritmo è necessario riprendere l’equazione del predittore

${\hat {x}}(n)=\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\ x(n-k)$

(C.58)

e della sua funzione di trasferimento

$P(z)=\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\ z^{-k}$

(C.59)

Definita la funzione d’errore del predittore di ordine “p” come

$e^{(p)}(n)=x(n)-{\hat {x}}(n)=x(n)-\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}^{(p)}x(n-k)$

(C.60)

è possibile definire la funzione di trasferimento del sistema d’errore. Si considera, cioè, il sistema che, dato come ingresso il segnale, produce in uscita la funzione d’errore. Tale funzione di trasferimento è pari a

$A^{(p)}(z)=1-\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}z^{-k}$

(C.61)

In tal modo è possibile esprimere l’errore di predizione in z come

$E^{(p)}(z)=A^{(p)}(z)\ X(z)$

(C.62)

Ora ci si può porre il problema di esprimere la A(z) di un predittore di ordine “m” in funzione della A(z) di un predittore di ordine Per tale problema si può utilizzare la trattazione svolta per l’algoritmo di Levinson-Durbin che fornisce un’espressione ricorsiva per i coefficienti del predittore a k. Sostituendo tale relazione nella definizione di A(z) si ottiene

$A^{(m)}(z)=1-\sum _{j=1}^{m}\alpha _{j}^{(m)}z^{-j}=1-\sum _{j=1}^{m}\left[\alpha _{j}^{(m-1)}+k^{m}\alpha _{m-j}^{(m-1)}\right]z^{-j}$