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C - Algoritmi a blocchi per il filtraggio adattativo

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dove α_b^(m-1) rappresenta il vettore dei coefficienti del predittore di ordine m-1 α^(m-1) con gli elementi in ordine invertito. Sostituendo l’espressione di δ^(m-1) nell’equazione iniziale è possibile ricavare ricorsivamente i coefficienti del predittore come

$\alpha ^{(m)}=\alpha ^{(m-1)}-k^{(m)}\alpha _{b}^{(m-1)}$

$\alpha _{j}^{(m)}=\alpha _{j}^{(m-1)}-k^{(m)}\alpha _{m-j}^{(m-1)},\ 1\leq j\leq m-1$

(C.44)

In tale espressione la costante k^(m) risulta ancora incognita. Per poterla ricavare si sostituisce l’espressione di nella seconda componente dell’equazione normale aumentata, ottenendo

$r_{b}^{(m-1)^{T}}\alpha ^{(m)}=k^{(m)}r_{b}^{(m-1)^{T}}\alpha _{b}^{(m-1)}-r^{(m)}R(0)=R(m)$

$k^{(m)}={\frac {R(m)-r_{b}^{(m-1)^{T}}\alpha ^{(m-1)}}{R(0)-r_{b}^{(m-1)^{T}}\alpha _{b}^{(m-1)}}}={\frac {R(m)-r_{b}^{(m-1)^{T}}\alpha ^{(m-1)}}{R(0)-r_{b}^{(m-1)^{T}}R^{(m-1)^{-1}}}}r_{b}^{(m-1)}={\frac {R(m)-r_{b}^{(m-1)^{T}}\alpha ^{(m-1)}}{R(0)-\alpha ^{(m-1)^{T}}r^{(m-1)}}}$

(C.45)

Riconoscendo nel denominatore l’espressione dell’errore minimo al passo m-1, si ha

$k^{(m)}={\frac {R(m)-r_{b}^{(m-1)^{T}}\alpha ^{(m-1)}}{e^{(m-1)}}}={\frac {R(m)-\sum _{j=1}^{m-1}\alpha _{j}^{(m-1)}R(m-j)}{e^{(m-1)}}}$

(C.46)

Anche l’errore può essere calcolato ricorsivamente, dato che

$e^{(m)}=R(0)-\alpha ^{(m-1)^{T}}R_{m-1}=R(0)\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}^{(m)}R(k)$

(C.47)

Sostituendo l’espressione ricorsiva degli a k si ottiene

$e^{(m)}=R(0)-\sum _{k=1}^{m-1}\alpha _{k}^{(m-1)}R(k)-\alpha _{m}^{(m)}\left[R(m)-\sum _{k=1}^{m-1}\alpha _{m-k}^{(m-1)}R(k)\right]$

(C.48)