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C - Algoritmi a blocchi per il filtraggio adattativo

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Anche in questo caso è possibile utilizzare la matrice delle osservazioni, avente dimensioni [n + m -1, m], che assume la forma

$H^{T}={\begin{bmatrix}x(1)&x(2)&\ldots &x(p)&x(p+l)&\ldots &x(n)&0&\ldots &0\\0&x(1)&\ldots &x(p-1)&x(p)&\ldots &x(n-1)&x(n)&\ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\0&0&\ldots &x(1)&x(2)&\ldots &x(n-p+1)&x(n-p)&\ldots &x(n)\end{bmatrix}}$

(C.34)

Dalla H si ricavano la matrice di autocorrelazione ed il vettore di cross-correlazione

$R={\frac {H^{T}H}{n}}$

$r={\frac {H^{T}x(n+1)}{n}}$

(C.35)

La soluzione diretta dell’equazione di Yule-Walker tramite l’inversione della matrice di auto correlazione può essere anche in questo caso evitata, dato che essa risulta essere una matrice di Toeplitz, cioè simmetrica con tutti gli elementi di una diagonale identici. Ciò permette di ricavare ricorsivamente i coefficienti di un predittore di ordine p in funzione dei coefficienti di predittori di ordine inferiore tramite una relazione ricorsiva del tipo

$\alpha _{k}^{(m)}=\alpha _{k}^{(m-1)}+\delta _{k}^{(m-1)}$

(C.36)

dove α_k^(m) indica il coefficiente k-esimo del predittore di ordine “m” e quindi al passo m-esimo dell’algoritmo. Le condizioni iniziali sono quelle di un predittore del primo ordine, che possono essere ricavate direttamente dall'equazione normale

$R(0)\alpha _{1}^{(1)}=R(1)$

$\alpha _{1}^{(1)}={\frac {R(1)}{R(0)}}$

(C.37)