Pagina:Codifica numerica del segnale audio.djvu/339

C - Algoritmi a blocchi per il filtraggio adattativo

321

$\Phi (1,0)={\frac {1}{5}}([-1\ 0\ -1\ 2\ -1][2\ -1\ 0\ -1\ 2]^{T})=-{\frac {6}{5}}$

$\Phi (2,0)={\frac {1}{5}}([0\ -1\ 2\ -1\ 0][2\ -1\ 0\ 1\ 2]^{T})={\frac {2}{5}}$

$\Phi (1,1)={\frac {1}{5}}([-1\ 0\ -1\ 2\ -1][-1\ 0\ -1\ 2\ -1]^{T})={\frac {7}{5}}$

$\Phi (2,2)={\frac {1}{5}}([0\ -1\ 2\ -1\ 0][0\ -1\ 2\ -1\ 0]^{T})={\frac {6}{5}}$

$\Phi (2,1)={\frac {1}{5}}([0\ -1\ 2\ -1\ 0][-1\ 0\ -1\ 2\ 1]^{T})=-{\frac {4}{5}}$

(C.6)

e calcolare il vettore dei coefficienti ottimi come

${\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {7}{5}}&-{\frac {4}{5}}\\-{\frac {4}{5}}&{\frac {6}{5}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-{\frac {6}{5}}\\{\frac {2}{5}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {15}{13}}&{\frac {10}{13}}\\{\frac {10}{13}}&{\frac {35}{26}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\frac {6}{5}}\\{\frac {2}{5}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {14}{13}}\\-{\frac {5}{13}}\end{bmatrix}}$

(C.7)

Il calcolo della Φ può avvenire anche evitando di utilizzare campioni esterni al blocco corrente. A tal fine è necessario considerare sequenze di n-p campioni opportunamente sfasate ritagliate all'interno del blocco. Il calcolo della Φ può poi avvenire costruendo la matrice delle osservazioni

$H^{T}={\begin{bmatrix}x(p)&x(p+l)&\ldots &x(n)\\x(p-1)&x(p)&\ldots &x(n-1)\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\x(1)&x(2)&\ldots &x(n-p+1)\end{bmatrix}}$

(C.8)

dalla quale sì ricavano la matrice di auto-correlazione ed il vettore di cross-correlazione

$\Phi ={\frac {H^{T}H}{n-p}}$

$\Psi ={\frac {H^{T}x(n+1)}{n-p}}$

(C.9)

La matrice di covarianza risulta essere definita positiva e, per costruzione, simmetrica. La soluzione dell’equazione normale può essere quindi trovata evitando l’inversione della stessa, ma scomponendola tramite l’algoritmo di Cholesky nel prodotto