Pagina:Codifica numerica del segnale audio.djvu/333

B - Metodo dei minimi quadrati ricorsivo

315

$\alpha ^{(n)}=P^{(n)}\Theta (n)=wP^{(n)}\Theta ^{(n-1)}+x(n)P^{(n)}x(n-1)$

$=P^{(n-1)}\Theta (n-1)=k^{(n)}x^{T}(n)P^{(n-1)}\Theta ^{(n-1)}+x(n)P^{(n)}x(n-1)$

$=\alpha ^{(n-1)}+x(n)P^{(n)}x(n-1)-k^{(n)}x^{T}(n-1)\alpha ^{(n-1)}$

$=\alpha ^{(n-1)}+k^{(n)}\left[x(n)-x^{T}(n-1)\alpha ^{(n-1)}\right]$

(B.14)

Sostituendo l’espressione dell’errore

$\eta ^{(n)}=x(n)-x^{T}(n-1)\alpha ^{(n-1)}$

(B.15)

si ottiene, infine

$\alpha ^{(n)}=\alpha ^{(n-1)}+k^{(n)}\eta ^{(n)}$

(B.16)

Da tale equazione si nota come il vettore dei guadagni k(n) ha le stesse funzioni del parametro p nell’LMS. A differenza di quest’ultimo, però, esso risulta variabile e, dipendendo dalla matrice di correlazione del segnale, ha memoria del processo di stima.

In tal modo sono state ottenute equazioni ricorsive per il calcolo di k, p, a e P. Al fine di ridurre la complessità computazionale, però, è opportuno definire la grandezza

$y^{(n)}={\frac {P^{(n-1)}x(n-1)}{w}}$

(B.17)

con la quale i passi per la predizione sono ridotti ai seguenti: - si calcola la grandezza

$y^{(n)}={\frac {P^{(n-1)}x(n-1)}{w}}$

(B.18)

- da questa si calcola il vettore dei guadagni

$k^{(n)}={\frac {y^{(n)}}{1+x^{T}(n-1)y^{(n)}}}$

(B.19)

errore quadratico medio