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Codifica numerica del segnale audio

Analogamente si ottiene

$\Theta (n)=w\Theta ^{(n-1)}+x(n)X^{T}(n-1)$

(B.8)

L'inversione della matrice di autocorrelazione può essere evitata, in quanto risulta [Hay86]

$\Gamma ^{(n)^{-1}}={\frac {\Gamma ^{(n-1)^{-1}}}{w}}-{\frac {\frac {\Gamma ^{(n-1)^{1}}x(n-1)x^{T}(n-1)\Gamma ^{(n-1)^{-1}}}{w^{2}}}{1+{\frac {x^{T}(n-1)\Gamma ^{(n-1)^{-1}}x(n-1)}{w}}}}$

(B.9)

Per semplificare la notazione si introduce la matrice di autocorrelazione inversa

$P(n)=\Gamma ^{(n)^{1}}$

(B.10)

ed il vettore dei guadagni

$k^{(n)}={\frac {\frac {P^{(n-1)}x(n-1)}{w}}{1+{\frac {x^{T}(n-1)P^{(n-1)}x(n-1)}{w}}}}$

(B.11)

che ha le stesse dimensioni dell'ordine del predittore. In tal modo, per l'equazione dell'inversa della matrice di autorrelazione si ottiene la relazione ricorsiva

$P^{(n)}={\frac {P^{(n-1)}-k^{(n)}x^{T}(n-1)P^{(n-1)}}{w}}$

(B.12)

Riorganizzando la definizione del vettore dei guadagni si ottiene, invece

$k^{(n)}={\frac {\left[P^{(n-1)}-k^{(n)}x^{T}(n-1)P^{(n-1)}\right]x(n-1)}{w}}=P^{(n)}x(n-1)$

(B.13)

con la quale si ottengono le seguenti relazioni ricorsive per i coefficienti del predittore