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A - Processi auto regressivi

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ed il sistema (di tipo IIR) è detto ARMA. Esprimendo l’equazione alle differenze

$\sum _{k=0}^{N}a_{k}y(n-k)=\sum _{k=0}^{M}b_{k}y(n-k)$

(A.17)

tramite la sua trasformata Z, si ottiene

$Y(z)\sum _{k=0}^{N}a_{k}z^{k}=X(z)\sum _{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}$

(A.18)

con funzione di trasferimento

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{\sum _{k=0}^{N}a_{k}z^{-k}}}$

(A.19)

data da un rapporto di polinomi in z con a₀ = 1. Se b₀ ≠ 0, è possibile eliminare le potenze negative di z fattorizzando i termini b₀z^-M e a₀z^-N ed ottenendo

$H(z)=G\ z^{-M+N}{\frac {\prod _{k=1}^{M}(z-z_{k})}{\prod _{k=1}^{N}(z-p_{k})}}$

(A.20)

dove G = b₀/a₀ = b₀. Per sistemi FIR il denominatore non è presente e la funzione di trasferimento, è composta da soli zeri. Per sistemi AR la funzione di trasferimento è composta da soli poli.

Essendo la funzione di trasferimento dipendente dal contributo dei singoli poli e zeri, è possibile prevedere le caratteristiche della risposta impulsiva di un sistema a tempo discreto (e, quindi, il suo comportamento nel dominio del tempo) in funzione della loro localizzazione. Mentre il contributo del numeratore è poco intuitivo (ma sarà analizzato nel seguito), l’influenza della localizzazione dei poli è, invece, molto evidente.