Pagina:Codifica numerica del segnale audio.djvu/308

290

Codifica numerica del segnale audio

da cui si ottiene l’errore

$\epsilon _{D}={\frac {1}{N}}Tr\left[(I-B\ I_{D}A)R\right]$

$I_{D}B^{T}=I_{D}B^{T}B\ I_{D}A$

(7.47)

Imponendo che l’errore si annulli per D = N

$I-B\ A=0\to B=A^{-1}$

$I_{D}-B^{T}\ B=I_{D}B^{T}\ B\ I_{D}$

(7.48)

Affinché ciò sia vero per qualsiasi valore di D, la matrice B deve essere unitaria e, di conseguenza, risulterà unitaria anche la matrice A con B = A^T.

Per quanto riguarda l’errore

$\epsilon _{D}={\frac {1}{N}}Tr\left[(I-A^{T}I_{D}A)R\right]={\frac {1}{N}}Tr\left[R-I_{D}A\ R\ A^{T}\right]$

(7.49)

Dato che R è fissa, è necessario massimizzare la quantità

${\hat {\epsilon }}_{D}=Tr\left[I_{D}A\ R\ A^{T}\right]=\sum _{k=0}^{D-1}a_{k}^{T}Ra_{k}$

(7.50)

dove a_k^T è la k-esima riga di A e, essendo A unitaria, a_k^T a_k = 1. A tal fine si considera il lagrangiano

${\hat {\epsilon }}_{D}=\sum _{k=0}^{D-1}a_{k}^{T}Ra_{k}+\sum _{k=0}^{D-1}\lambda _{k}(1-a_{k}^{T}a_{k})$

(7.51)

differenziando il quale rispetto ad a_j si ottiene la soluzione

$R\ a_{j}=\lambda _{j}\ a_{j}$

(7.52)

che porta all'errore

${\hat {\epsilon }}_{D}=\sum _{k=0}^{D-1}\lambda _{k}$

(7.53)