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7 - Codifica nel dominio della frequenza

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Per una matrice unitaria, la trasformazione inversa avviene come

$x=A^{-1}y=A^{*T}y\Rightarrow x(n)=\sum _{k=0}^{N-1}a^{*}(k,n)\ y(k),\ 0\leq n\leq N-1$

(7.35)

Una matrice ortogonale reale è anche unitaria, ma non è vero il viceversa. Inoltre, come conseguenza diretta della definizione, si ha che le righe o le colonne di una matrice unitaria formano una base ortogonale nello spazio ad N dimensioni. Le colonne di A T, cioè i vettori a k = a*(k, n), 0 < n < N - 1 vengono chiamati vettori base di A.

Una matrice A è detta simmetrica se coincide con la sua trasposta (A = A T ) ed Hermitiana se coincide con la trasposta coniugata (A = A T ). Per una matrice Hermitiana tutti gli autovalori (radici dell’equazione IA - X k 11 = 0) sono reali. Inoltre, esiste sempre la matrice unitaria degli autovettori (automatrice di A) tale che

$\Phi ^{T}A\Phi =\Lambda$

(7.36)

dove Λ è la matrice diagonale formata dagli autovalori di A.

Alcune proprietà delle trasformate unitarie sono particolarmente importanti per quanto riguarda la codifica. La prima è la conservazione dell’energia. Infatti

$\|y\|_{2}=\sum _{k=0}^{M-1}|y(k)|^{2}=y^{T}y=x^{T}A^{T}A\ x=\sum _{k=0}^{M-1}|x(k)|^{2}=\|x||_{2}$

(7.37)

Ciò significa che, interpretando i campioni del segnale come coordinate di uno spazio ad N dimensioni, ogni trasformazione unitaria è semplicemente una rotazione del vettore x, fermo restando il suo modulo.

Questa proprietà apre la strada alla ricerca di trasformate unitarie che compattino l’energia del segnale in un numero ridotto di coefficienti. Infatti, poiché l’energia viene conservata, se essa viene compattata, molti coefficienti conterrebbero un’energia molto piccola e, quindi, risulterebbero trascurabili. Condizione necessaria perché ciò avvenga è che i coefficienti risultino essere scorrelati: in tal modo è possibile che alcuni se ne annullino, mentre altri risultano essere diversi da zero.