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7 - Codifica nel dominio della frequenza

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e nell'ipotesi $\epsilon _{k}^{2}=\epsilon _{x}^{2}=\epsilon ^{2}$, si ricava che la potenza complessiva dell’errore di quantizzazione è pari a

$e_{g}^{2}=\epsilon ^{2}\sum _{k=0}^{M-1}\sigma _{k}^{2}2^{-2R_{k}}$

(7.13)

II problema è minimizzare tale grandezza rispetto alle incognite Rk, con il vincolo che il flusso numerico

$M\ R=\sum _{k=0}^{M-1}R_{k}$

(7.14)

si mantenga costante. In questa espressione, R è il numero medio di bit per campione. Utilizzando i moltiplicatori di Lagrange, ciò equivale a minimizzare la funzione non vincolata

$L=\epsilon ^{2}\sum _{k=0}^{M-1}\sigma _{k}^{2}2^{-2R_{k}}-\lambda \left(M\ R-\sum _{k=0}^{M-1}R_{k}\right)$

(7.15)

rispetto alle incognite Rk, con λ parametro arbitrario. Il minimo si ottiene imponendo che

${\frac {\partial }{\partial R_{k}}}\left[\epsilon ^{2}\sum _{k=0}^{M-1}\sigma _{k}^{2}2^{-2R_{k}}-\lambda \left(M\ R-\sum _{k=0}^{M-1}R_{k}\right)\right]=0$

(7.16)

da cui si ricavano gli Rk in funzione di λ

$R_{k}={\frac {1}{2}}log_{2}\left(2\epsilon ^{2}log_{e}2\right)+{\frac {1}{2}}log_{2}\left({\frac {\sigma _{k}^{2}}{\lambda }}\right)$

(7.17)

La cercata allocazione ottima dei bit è, quindi, data da

$R_{k,ott}=R+{\frac {1}{2}}log_{2}\left[{\frac {\sigma _{k}^{2}}{\left(\prod _{j=0}^{M-1}\sigma _{j}^{2}\right)^{1/M}}}\right]$

(7.18)