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6 - Codifica per modelli

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in cui i primi tre termini non dipendono dalla specifica parola del codebook e quindi possono essere calcolati una sola volta off-line dalla procedura di ricerca. Tralasciando la dipendenza dell’errore dalla generica parola j, e ponendo $X_{w_{off}}=X_{W}(n)-{\hat {X}}_{w_{0}}(n)-{\hat {X}}_{w_{LT}}(n)$, si ottiene

$E=\sum _{n=1}^{L_{s}}\left(X_{W_{off}}(n)-{\hat {X}}_{W_{cbk}}(j,n)\right)^{2}$

$=\sum _{n=1}^{L_{s}}\left(X_{W_{off}}(n)-g_{cbk}I(n)\right)^{2}$

(6.24)

dove I(n) rappresenta il generico vettore del codebook filtrato con il filtro di sintesi a breve termine senza memorie. Derivando rispetto a g_cbk e ponendo la derivata uguale a zero, si ottiene la relazione del fattore di scala ottimo per il generico vettore, e cioè

$g_{cbk}={\frac {\sum _{n=1}^{L_{s}}X_{W_{off}}(n)-I(n)}{\sum _{n=1}^{L_{s}}(I(n))^{2}}}$

(6.25)

Sostituendo la relazione del fattore di scala ottimo in quella dell’energia, si ottiene l’espressione dell’energia ottenibile con il fattore di scala ottimo

$E=\sum _{n=1}^{L_{s}}(X_{W_{off}}(n))^{2}-{\frac {\left(\sum _{n=1}^{L_{s}}X_{W_{off}}(n)-I(n)\right)^{2}}{\sum _{n=1}^{L_{s}}(I(n))^{2}}}$

(6.26)

Dato che il primo termine è costante per ogni vettore del codebook, il processo di ricerca del vettore ad energia minima consiste quindi nella massimizzazione del secondo termine. Pertanto il vettore di eccitazione ottimo è quello che massimizza il termine