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Codifica numerica del segnale audio

${\hat {P}}(\omega )={\frac {1}{|1+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}e^{-jk\omega }|^{2}}}$

(5.119)

è possibile riottenere le equazioni di Wiener-Hopf minimizzando l’errore spettrale

$E={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {P(\omega )}{{\hat {P}}(\omega )}}d\omega$

(5.120)

Lo sbiancamento dello spettro del segnale differenza può essere anche dimostrato differentemente. Infatti, la funzione di autocorrelazione del segnale differenza è pari a

$R_{dd}(i)=E\{d(n)d(n-i)\};\ i=1,2,\ldots$

(5.121)

Sostituendo in essa l’espressione del predittore

$d(n-i)=x(n-i)-{\hat {x}}(n-i)=x(n-i)-\sum _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}\ x(n-i-j);\ i=1,2,\ldots$

(5.122)

e dato che, per il principio di ortogonalità, risulta

$E\{d(n)-x(n-i)\}=E\{e(n)-x(n-i)\}=0;\ i=1,2,\ldots$

(5.123)

si ottiene

$R_{dd}=\sum _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}E[d(n)\ x(n-i-j)];\ i=1,2,\ldots$

(5.124)

Riapplicando il principio di ortogonalità, si verifica che la funzione di auto-correlazione risulta essere impulsiva e quindi, nell'ipotesi (essenziale) che il predittore sia di ordine infinito, il segnale differenza è in teoria rumore bianco.

Ovviamente, la predizione del segnale eseguita con predittori di ordine finito (predizione a breve termine) riesce a ricostruire solamente l’andamento medio dello spettro del segnale. Nel caso di segnale vocale, ad esempio, con un