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5 - Codifica numerica di forma d’onda con memoria

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Es.: si consideri un segnale cosinusoidale campionato con una frequenza pari a quattro volte la frequenza del segnale e fase iniziale nulla. La sequenza dei campioni è pari a

$x(n)=[10-1010-1\ldots ];\ n=0,1,\ldots$

(5.97)

Si consideri un precettore del 2° ordine con costante di aggiornamento dei coefficienti μ = 1/2 e condizioni iniziali per i coefficienti del predittore α = [ 0 0 ]. Per i primi due passi dell’algoritmo si ottiene

$e(0)=x(0)=1;e(1)=x(1)=0$

$\alpha _{1}^{(1)}=\mu x(0)e(1)=0$

(5.98)

dopo di che si possono applicare le relazioni ricorsive esposte che, per n = 2, forniscono

$e(2)=x(2)-\alpha _{1}^{(2)}x(1)=-1$

$\alpha _{1}^{(3)}=\alpha _{1}^{(2)}+\mu e(2)x(1)=0;\ \alpha _{2}^{(3)}=\alpha _{2}^{(2)}+\mu e(2)x(0)=-{\frac {1}{2}}$

(5.99)

per n = 3 forniscono

$e(3)=x(3)-\alpha _{1}^{(3)}x(2)-\alpha _{2}^{(3)}x(1)=0$

$\alpha _{1}^{(4)}=\alpha _{1}^{(3)}+\mu e(3)x(2)=0;\ \alpha _{2}^{(4)}=\alpha _{2}^{(3)}+\mu e(3)x(1)=-{\frac {1}{2}}$

(5.100)

e cosi via.

Per quanto riguarda la convergenza dell’LMS, essa, come per l’MMS, è di tipo esponenziale con decadimento regolato da μ (fig. 5.20). L’uso di una stima del gradiente invece del suo valore corretto, però, si traduce nell'aggiunta di un errore che si manifesta come fluttuazioni sulla convergenza esponenziale. Di conseguenza, da p dipende anche lo scostamento dal valore teorico del minimo errore ottenibile. Infatti, con valori bassi di μ si ottiene una convergenza lenta, ma i valori dei coefficienti ottenuti risultano essere molto vicini a quelli ottimi; con valori di μ elevati la convergenza è più rapida, ma le maggiori fluttuazioni introdotte fanno si che le prestazioni a regime siano peggiori. La soluzione può essere quella di rendere adattativo anche tale parametro, al prezzo di una maggiore complessità computazionale [Appendice B].