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5 - Codifica numerica di forma d’onda con memoria

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$c^{(n)}\to \nu ^{(n)}=Q^{T}c^{(n)}=Q^{T}\left[\alpha ^{(n)}-\alpha _{ott}\right]$

(5.86)

si ottiene la seguente equazione ricorsiva per il vettore ν

$Q\nu ^{(n+1)}=(I-\mu R)Q\nu ^{(n)}$

$\nu ^{(n+1)}=(I-\mu \Lambda )\nu ^{(n)}$

(5.87)

Esprimendo scalarmente tale relazione ricorsiva, si ottiene

$\nu _{k}^{(n+1)}=(I-\mu \lambda _{k})\nu _{k}^{(n)}$

$\nu _{k}^{(n)}=(I-\mu \lambda _{k})^{n}\nu _{k}^{(0)}$

(5.88)

Questa rappresenta una serie geometrica, la cui stabilità è assicurata se risulta -

$-\ <1-\mu \lambda _{k}<1$

$0<\mu <{\frac {2}{\lambda _{max}}}$

(5.89)

Questa relazione, che impone un limite superiore al valore della costante di aggiornamento, mostra come la |i debba essere scelta in funzione degli autovalori della matrice di autocorrelazione del processo, peraltro incogniti. Sostituendo l’espressione ricorsiva della variabile v in quella dell’errore, si ricava infine

$\epsilon (\nu )=\epsilon _{min}+\nu ^{T}\Lambda \nu =\epsilon _{min}+\sum _{k=1}^{p}\lambda _{k}\nu _{k}^{2}=\epsilon _{min}+\sum _{k=1}^{p}(1-\mu \lambda _{k})^{2n}\nu _{k}(0)^{2}$

(5.90)

che mostra come l'errore tenda al suo minimo con legge esponenziale.

Per quanto riguarda la rapidità di convergenza, la dipendenza dagli autovalori della matrice di autocorrelazione è evidente, dato che da essi dipende l’eccentricità delle sezioni orizzontali del funzionale d’errore. È intuitivo pensare, infatti, che con sezioni approssimativamente circolari in gradiente punti al minimo del funzionale d’errore e quindi le correzioni dell’algoritmo portano i coefficienti del predittore a raggiungerlo rapidamente. Con sezioni fortemente ellittiche, invece, le correzioni apportate ai parametri hanno forti componenti trasversali alla direzione di massima pendenza, per cui l’avvicinamento al minimo sarà più lento.