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Codifica numerica del segnale audio

$\alpha ^{(n+1)}=\alpha ^{(n)}+\mu R_{ex}(n)$

(5.82)

Tale soluzione presuppone che sia nota la matrice R ex. Dato che ciò non si verifica in pratica, sarà necessario sviluppare algoritmi differenti che riescano a stimare il gradiente dai campioni del segnale disponibili, come mostrato nel successivo sottoparagrafo.

Nella legge di aggiornamento, il parametro μ influenza la memoria dell’algoritmo, dato che esso può essere interpretato come coefficiente di feed-back per il vettore dei coefficienti e quindi come coefficiente di smorzamento sul contributo dei precedenti campioni. La scelta parametro μ, quindi, è estremamente critica. Scegliendo valori “piccoli” si ha una convergenza lenta dell’algoritmo, a causa delle modeste correzioni apportate al vettore dei coefficienti ad ogni passo dell’algoritmo. Viceversa, valori “grandi” di μ, rendono l’algoritmo instabile, dato che si continua a correggere energicamente il vettore dei coefficienti anche quando si è in prossimità del minimo.

Per studiare la stabilità dell'algoritmo è necessario ricavare una relazione ricorsiva per il vettore di errore dei coefficienti del predittore, il cui termine al passo n-esimo è definito come

$c^{(n)}=\alpha ^{(n)}-\alpha _{ott}$

(5.83)

Il vettore di errore al passo n+1 si ottiene come

$c^{(n+1)}=\alpha ^{(n+1)}-\alpha _{ott}=\alpha ^{(n)}-\mu (R\alpha ^{(n)}-r)-\alpha _{ott}$

$=\alpha ^{(n)}-\alpha _{ott}-\mu R\alpha ^{(n)}+\mu r=c(n)-\mu R\alpha ^{(n)}+\mu R\alpha _{ott}$

$c^{(n+1)}=(I-\mu R)c^{(n)}$

(5.84)

Scomponendo la R in funzione dei suoi autovalori

$c^{(n+1)}=(I-\mu Q\Lambda Q^{T})c^{(n)}$

$Q^{T}c(n+1)=(I-\mu \Lambda )Q^{T}c(n)$

(5.85)

e trasformando la superficie del criterio d’errore in forma canonica, tramite il cambiamento di coordinate