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Codifica numerica del segnale audio

Wiener-Hopf. Ciò è possibile utilizzando la finestra degli n campioni che precedono il campione corrente, finestra che viene poi traslata campione per campione (predizione adattativa all'indietro: APB). A partire da una condizione iniziale arbitraria, nella predizione viene utilizzato un vettore sub-ottimo di coefficienti, che sono poi aggiornati ricorsivamente. L’aggiornamento avviene in modo tale che ci si avvicini per approssimazioni successive al minimo dell’errore, muovendoci lungo la sua superficie dell’e(a) in direzione opposta a quella del gradiente (algoritmo del gradiente deterministico, o “Steeppest Descent” o “Minimum Mean-Square error gradient algorithm": MMS) (fig. 5.19). In caso di segnale non stazionario, tale minimo risulterà variabile, per cui l’algoritmo continuerà ad inseguirlo continuando ad aggiornare il vettore dei coefficienti.

Ipotizzando, per il momento, nota la matrice di auto-correlazione, il gradiente della funzione di errore

$\nabla \epsilon (\alpha )={\frac {\partial \epsilon }{\partial \alpha _{i}}}=2(R\alpha -r)$

(5.76)

risulta disponibile. Essendo l’errore una funzione quadratica degli a, il valore del gradiente risulta essere tanto maggiore quanto maggiore è lo scostamento di questi dall'ottimo. Le correzioni da apportare ad essi, quindi, possono essere pensate proporzionali al gradiente stesso tramite una relazione del tipo

$\alpha ^{(n+1)}=\alpha ^{(n)}+{\frac {1}{2}}\mu [-\nabla (n)]=\alpha ^{(n)}+\mu \left[r-R\alpha ^{(n)}\right]$

(5.77)

dove μ è opportuno parametro che verrà analizzato successivamente. Il problema è quindi quello del calcolo del gradiente, che è conveniente riscrivere come

$\nabla \epsilon (\alpha )=2(R\alpha -r)=2E\left\{\sum _{i=1}^{p}\left[\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}x(n-k)x(n-i)-x(n)x(n-i)\right]\right\}$

$=-2E\left\{\sum _{i=1}^{p}\left[x(n)-\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}x(n-k)\right]x(n-i)\right\};\ i=1,\ldots ,p$

(5.78)

Riconoscendo nel termine tra parentesi quadre Terrore di predizione