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Codifica numerica del segnale audio

${\hat {\epsilon }}(\alpha )=\sum _{n}e(k)^{2}=\sum _{n}\left[x(n)-\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\ x(n-k)\right]^{2}$

(5.70)

dove gli indici che determinano gli estremi della sommatoria in “n”, che dipendono dal tipo di algoritmo utilizzato [Appendice C], sono comunque da considerarsi finiti. Tale tecnica è nota come criterio dei minimi quadrati dell’errore (Least Square: LS). Ripetendo passi analoghi a quanto fatto per l’equazione di Wiener-Hopf, si ottiene la seguente equazione normale deterministica

$\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\sum _{n}x(n-i)x(n-k)=\sum _{n}x(n-i)x(n);\ 1\leq i\leq p$

(5.71)

Tale equazione può essere ottenuta direttamente dall'equazione normale introducendo la grandezza Φ

$\Phi (i,j)={\frac {1}{n}}\sum _{k}x(k-i)x(k-j)$

(5.72)

come approssimazione della matrice di autocorrelazione del segnale, ricavata da suoi campioni. Anche in tale equazione gli estremi della sommatoria sono lasciati per il momento indefiniti. L’equazione normale deterministica può essere, quindi, scritto come

$\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\Phi (i,k)=\Phi (i,0)$

(5.73)

che, in forma matriciale, diventa

${\begin{bmatrix}\Phi (1,1)&\Phi (1,2)&\Phi (1,3)&\ldots &\Phi (1,p)\\\Phi (2,1)&\Phi (2,2)&\Phi (2,3)&\ldots &\Phi (2,p)\\\Phi (3,1)&\Phi (3,2)&\Phi (3,3)&\ldots &\Phi (3,p)\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\Phi (1,1)&\Phi (p,2)&\Phi (p,3)&\ldots &\Phi (p,p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\alpha _{3}\\\ldots \\\alpha _{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Phi (1,0)\\\Phi (2,0)\\\Phi (3,0)\\\ldots \\\Phi (p,0)\end{bmatrix}}$

$\Phi \ \alpha =\Psi$

(5.74)