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5 - Codifica numerica di forma d’onda con memoria

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e riscrivendola per la predizione, in cui u(n) = x(n), ci si riconduce all’equazione di Wiener-Hopf

$r=\alpha R$

(5.58)

con la sostituzione a = - w. Cioè, nota la struttura della sorgente, il predittore ottimo si ottiene trasformando la struttura del processo sorgente da IIR a FIR e adottando gli stessi pesi, a meno del segno.

Infine, se si confronta l’equazione del processo AR

$u(n)=v(n)-\sum _{k=1}^{q}w_{k}u(n-k)$

(5.59)

con quella di definizione dell’errore di predizione

$e(n)=x(n)-{\hat {x}}(n)\to x(n)=e(n)+\sum _{k=1}^{q}\alpha _{k}x(n-k)$

(5.60)

si nota che, nel caso di predizione ottima, e quindi con a = - w, risulta

$e(n)=v(n)$

(5.61)

cioè l'errore di predizione nel caso di adattamento ottimo coincide con l’ingresso del processo, trasformato da AR a ARX (fig. 5.16). Questo poteva essere intuito pensando di alimentare il processo ARX con un treno di delta. Adottando per il predittore una struttura complementare a quella della sorgente, questo può seguire, una volta che è adattato, la risposta impulsiva della sorgente stessa, ma non può, ovviamente, predire il suo ingresso.

Dato il legame tra i coefficienti del predittore e quelli del processo ARX, l’ordine del predittore non può essere superiore a quello del processo che stima. Altrimenti, la matrice di autocorrelazione R risulta a determinante nullo e l’equazione normale non ammetterebbe soluzione.

Es.: si consideri un segnale sinusoidale del tipo

$s(n)=sin\left(n{\frac {\pi }{4}}\right)$

(5.62)