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Codifica numerica del segnale audio

Fig. 5.15 - Superficie del funzionale d’errore.

Volendo analizzare le caratteristiche del segnale d’errore ottenuto nel caso di adattamento ottimo, è opportuno riscrivere l’equazione normale nella forma

$E\{x(n)x^{T}(n)\}\alpha _{ott}=E\{x(n)x^{T}(n-1)\}$

(5.54)

dalla quale si ottiene

$E\{x(n)[x^{T}(n-1)-x^{T}(n)a_{ott}]\}=0$

(5.55)

Il termine tra parentesi quadre rappresenta il vettore dei campioni dell’errore di predizione e(n) (da non confondere con l’errore quadratico ε che è uno scalare), per cui

$E\{x(n)e_{ott}^{T}(n)\}=0$

(5.56)

Tale relazione indica che, nel caso di predizione ottima, l'errore è completamente scorrelato con il segnale (principio di ortogonalità).

Tornando ai legami predittore-modello AR della sorgente, si dimostra che i coefficienti del predittore ottimo coincidono (a meno del segno) con quelli del processo. Infatti, riprendendo l’equazione di Yule-Walker

$R_{uu}\eta =r_{uu};\ \eta =w$

(5.57)