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Codifica numerica del segnale audio

$\alpha _{ott}=R^{-1}r={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

(5.48)

per cui la predizione (ovviamente) non è possibile. Infine, il minimo della funzione d’errore

$\epsilon _{min}=\sigma ^{2}-\alpha _{ott}^{T}r=1$

(5.49)

coincide con la varianza del segnale. L’errore di predizione, dunque, ha una dinamica maggiore o uguale (nel caso di predizione ottima) a quella del segnale.

Se si considera, invece, un segnale con la stessa varianza, ma con funzione di autocorrelazione R_xx = [ 1 0.75 0.25 ... ], si ottiene

$\lambda _{1,2}={\begin{bmatrix}0.25\\1.75\end{bmatrix}}$

$\alpha _{ott}={\begin{bmatrix}1&0.75\\0.75&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0.75\\0.25\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.29\\-0.71\end{bmatrix}}$

$\epsilon _{min}=1-{\begin{bmatrix}1.29\\0.71\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}0.75\\0.25\end{bmatrix}}=0.21$

(5.50)

In tal caso, mantenendo fisso R(0) = G x = 1, la superficie d’errore presenta una sezione ellittica ed il suo minimo risulta inferiore alla varianza del segnale. Nel caso di predizione ottima, quindi, l’errore ha una dinamica inferiore a quella del segnale, per cui la sua codifica può avvenire con un numero inferiore di bit. Se si considera, infine, un segnale con una matrice di autocorrelazione caratterizzata da un rapporto tra autovalori identico a quello appena considerato (λ₁/λ₂ = 1/7), ma con un valore assoluto doppio del precedente

${\begin{cases}{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}={\frac {R(0)-R(1)}{R(0)+R(1)}}={\frac {1}{7}}\\\lambda _{1}=R(0)-R(1)=2\times 0.25\end{cases}}\to {\begin{cases}\lambda _{1}=0.5\\\lambda _{2}=3.25\end{cases}}$

(5.51)

si ottiene la funzione di auto-correlazione R_xx = [ 2 1.5 ... ]. Imponendo anche la coincidenza sulla posizione del minimo si ottiene