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5 - Codifica numerica di forma d’onda con memoria

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$\epsilon (\alpha )=\epsilon _{min}+c^{T}Rc$

(5.42)

Infine, se si orientano gli assi secondo gli autovettori della matrice R, si ottiene la rappresentazione in forma canonica della superficie d’errore. Per far questo è necessario scomporre la matrice di autocorrelazione R in funzione della matrice diagonale Λ dei suoi autovalori e della matrice Q dei suoi autovettori

$R=Q\ \Lambda \ Q^{T}c$

(5.43)

Operando il cambiamento di coordinate

$c\to \nu =Q^{T}c$

(5.44)

e noto che Q^-1 = Q^T, si ottiene, infine, la forma canonica

$\epsilon (\alpha )=\epsilon _{min}+c^{T}Rc=\epsilon _{min}+Q\ \Lambda \ Q^{T}c$

$\epsilon (\nu )=\epsilon _{min}+\nu ^{T}\Lambda \ \nu$

(5.45)

Si osserva che la superficie d’errore è legata con legge quadratica allo scostamento dei coefficienti del predatore dagli ottimi tramite la matrice R. La convessità del paraboloide è funzione dei suoi autovalori, mentre il loro rapporto ne determina l’eccentricità.

Es.: si consideri la superficie d’errore per un predittore del secondo ordine nel caso di un segnale casuale con a unitaria.

Gli autovalori della R si ottengono annullando il determinante

$\Delta (R-\lambda I)=\Delta \left({\begin{bmatrix}R(0)-\lambda &R(1)\\R(1)&R(0)-\lambda \end{bmatrix}}\right)=[R(0)-\lambda ]^{2}-R(1)^{2}$

(5.46)

ottenendo

$\lambda _{1,2}=R(0)\pm R(1)$

(5.47)

Per un segnale casuale, la funzione di autocorrelazione è una delta (R_xx = [1 0 0 ...]). Di conseguenza gli autovalori risultando coincidenti ed unitari e la superficie risulta essere un paraboloide a sezione circolare (fig. 5.14). Inoltre, per quanto riguarda i coefficienti ottimi del predittore si ottiene