Pagina:Codifica numerica del segnale audio.djvu/162

144

Codifica numerica del segnale audio

fornisce il valore dei coefficienti ottimi del predittore che portano al minimo dell’errore quadratico.

Es.: per il segnale telefonico, i valori medi normalizzati per l’autocorrelazione a lungo termine possono essere approssimati come R(0) = 1, R(l) = 0.85, R(2) = 0.55, R(3) = 0.25. Per un predittore del terzo ordine, i coefficienti ottimi che ne derivano sono pari a

${\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\alpha _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R(0)&R(l)&R(2)\\R(1)&R(0)&R(1)\\R(2)&R(1)&R(0)\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}R(1)\\R(2)\\R(3)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0.85&0.55\\0.85&1&0.85\\0.55&0.85&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0.85\\0.55\\0.25\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.45\\-0.79\\0.12\end{bmatrix}}$

(5.38)

Sostituendo l’equazione di Wiener-Hopf nell'espressione generale dell’errore, si ricava il suo minimo ε_min

$\epsilon (\alpha )=\sigma ^{2}-2\alpha ^{T}r+\alpha ^{T}R\alpha =\sigma ^{2}-\alpha ^{T}r+\alpha ^{T}(R\alpha -r)$

$\epsilon _{min}=\sigma ^{2}-2\alpha _{ott}^{T}r=R(0)-\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}^{ott}r(k)$

(5.39)

Esplicitando nell'espressione dell’errore il legame con il suo minimo

$\epsilon (\alpha )=\sigma ^{2}-2\alpha ^{T}r+\alpha ^{T}R\alpha =\sigma _{min}^{2}+\alpha _{ott}^{T}r-\alpha ^{T}r-r^{T}\alpha +\alpha ^{T}R\alpha$

$=\epsilon _{min}+\alpha _{ott}^{T}R\alpha _{ott}+\alpha ^{T}R\alpha _{ott}+\alpha _{ott}^{T}R\alpha +\alpha ^{T}R\alpha$

$=\epsilon _{min}+(\alpha ^{T}R-\alpha _{ott}^{T}R)(\alpha -\alpha _{ott})$

$\epsilon (\alpha )=\epsilon _{min}+(\alpha -\alpha _{ott})^{T}R(\alpha -\alpha _{ott})$

(5.40)

Questa relazione può essere semplificata introducendo il vettore di errore dei coefficienti del predittore

$c=(\alpha -\alpha _{ott})$

(5.41)

La sostituzione di questa variabile dell'espressione della superficie d’errore, equivale a traslare l'origine degli assi in corrispondenza del suo minimo, ottenendo