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Codifica numerica del segnale audio

Ricordando che l’autocorrelazione del segnale discreto, supposto stazionario, è definita come

$R(n)=E\left\{x(i)x(i+n)\right\}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(i)x(i+n)p[x(i),x(i+n)]$

(5.31)

l'equazione precedente, in forma matriciale, diventa

$\epsilon (\alpha )=\sigma _{x}^{2}-2\alpha ^{T}r+\alpha ^{T}R\alpha$

(5.32)

dove σ_x² = R(0) rappresenta la varianza del segnale e

$R={\begin{bmatrix}R(0)&R(1)&R(2)&\ldots &R(p-1)\\R(1)&R(0)&R(1)&\ldots &R(p-2)\\R(2)&R(1)&R(0)&\ldots &R(p-3)\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\R(p-1)&R(p-2)&R(p-3)&\ldots &R(0)\end{bmatrix}};\ r={\begin{bmatrix}R(1)\\R(2)\\R(3)\\\ldots \\R(p)\end{bmatrix}}$

(5.33)

sono, rispettivamente, la matrice R di autocorrelazione dell’ingresso x(n-l) (che coincide con quella di x(n)) ed il vettore di cross-correlazione tra l’ingresso x(n-l) e l’uscita desiderata x(n). Se R è una matrice definita positiva (cioè y^T R_y > 0, con y vettore arbitrario), ipotesi verificata in pratica, l’MSE è una funzione quadratica in α_k ed il suo minimo è unico (fig. 5.13). Esso si ottiene annullando contemporaneamente le derivate parziali dell’MSE rispetto al coefficiente generico α_i

${\frac {\partial \epsilon }{\partial \alpha _{i}}}=2E\left\{\left[x(n)-\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}x(n-k)\right]x(n-i)\right\}$

$=2E\left[\sum _{k=1}^{p}E\left\{\alpha _{k}x(n-k)x(n-i)\right\}-E\left\{x(n)x(n-i)\right\}\right]$

$=2\left[\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}R(k-i)-R(i)\right]$