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Codifica numerica del segnale audio

Fig. 5.10 - Rappresentazione della sorgente di un processo correlato tramite un modello Auto-Regressivo.

moltiplicando entrambi i membri per i campioni u(n i) dell’uscita ed applicando l’operatore valore atteso E{}

$E\left\{v(n)u(n-i)\right\}=E\left\{\sum _{k=0}^{q}w_{k}u(n-k)u(n-i)\right\};\ i>0$

$E\left\{v(n)u(n-i)\right\}=\sum _{k=0}^{q}w_{k}E\left\{u(n-k)u(n-i)\right\};\ i>0$

(5.18)

Al secondo termine si ha l’auto-correlazione R_uu di u(n). Il primo termine è nullo in quanto u(n - i) utilizza campioni dell’ingresso precedenti al campione v(n). Essendo quest’ultimo rumore bianco, v(n) e gli u(n-i) risultano tra loro scorrelati. Si ottiene quindi

$\sum _{k=0}^{q}w_{k}R_{uu}(n-k)=0;\ {\begin{cases}n=1,2,\dots ,q\\w_{0}=1\end{cases}}$

(5.19)

Esplicitando tale relazione si ottiene

$R_{uu}(n)=\eta _{1}R_{uu}(n-1)+\eta _{2}R_{uu}(n-2)+\ldots +\eta _{q}R_{uu}(n-q);\ \eta =-w$

(5.20)