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4 - Codifica numerica di forma d’onda senza memoria

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La caratteristica f(x) dipende, quindi, dalla distribuzione di probabilità p(x) delle ampiezze del segnale. Utilizzando per la p(x) una distribuzione esponenziale, si ottiene

$f'(x)=k_{3}e^{{\frac {\alpha }{3}}|x|}$

$f(x)=-k_{4}e^{{\frac {\alpha }{3}}|x|}+k_{5}$

(4.12)

Imponendo le condizioni a contorno f(0) = 0 e f(V) = V, si trova, infine

$f(x)=V{\frac {1-e^{-{\frac {\alpha }{3}}x}}{1-e^{-{\frac {\alpha }{3}}V}}}$

(4.13)

Questa è l’espressione cercata della caratteristica che minimizza l’errore globale di quantizzazione (fig. 4.3) e la quantizzazione ottenuta secondo tale caratteristica non lineare viene definita ottima. Studiandone l’andamento per un fissato valore a dell’esponente (ad esempio per il valore efficace corrispondente ad una potenza media di - 23 dBmO [Bon91]), si osserva che essa è tale da assegnare quanti di ampiezza minore per i livelli inferiori del segnale e viceversa per i livelli superiori. Dato che il contributo maggiore all'errore globale deriva dai livelli inferiori, che sono i più probabili, in tal modo è possibile ridurre globalmente la potenza del rumore rispetto alla quantizzazione uniforme. Inoltre, alla minimizzazione dell’errore globale, si affianca in questo caso un andamento del rapporto segnale rumore vantaggioso per i livelli più bassi. Questo, però, non risulta vero in generale. Infatti, per un segnale sinusoidale, dove i livelli più probabili del segnale sono quelli maggiori, la quantizzazione ottima addenserà i quanti per tali valori delle ampiezze. Rispetto ad una quantizzazione uniforme, il rapporto segnale rumore, quindi, risulterà ulteriormente peggiorato per i livelli più bassi.

Fissata la caratteristica, si può ricavare la potenza del rumore per un segnale con un qualsiasi valore efficace. Sostituendo la f(x) nell'espressione generale della componente granulare, si ottiene

$f'(x)={\frac {{\bar {\alpha }}V}{3}}{\frac {e^{-{\frac {\bar {\alpha }}{3}}x}}{1-e^{-{\frac {\bar {\alpha }}{3}}V}}}$

$e_{gn}^{2}={\frac {2V^{2}}{3n^{2}}}\int _{0}^{V}{\frac {p(x)}{f'^{2}(x)}}dx={\frac {3}{{\bar {\alpha }}^{2}n^{2}}}\left(1-e^{-{\frac {\bar {\alpha }}{3}}V}\right)^{2}\alpha \int _{0}^{V}e^{\left(2{\frac {\bar {\alpha }}{3}}-\alpha \right)x}dx$