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4 - Codifica numerica di forma d’onda senza memoria

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Fig. 4.2 - Variazioni della caratteristica ottima.

Nel minimo del funzionale J, l’incremento ΔJ deve annullarsi per ε che tende a zero [Gel63]. Nella nostra espressione è necessario, quindi, che si annulli l’argomento dell’integrale per qualsiasi funzione p(x) e cioè che si annulli il termine tra parentesi quadre. L’espressione che si ricava è l’equazione di Eulero

${\begin{cases}{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}-{\frac {\partial F}{\partial f}}=0\\f(0)=0;\ f(V)=V\end{cases}}$

(4.6)

Nel nostro caso la F non dipende esplicitamente dalla f(x), per cui l’equazione si semplifica in

${\begin{cases}{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}-{\frac {\partial F}{\partial f}}=0\\F={\frac {p(x)}{f'^{2}(x)}}\end{cases}}$

(4.7)

Procedendo al calcolo delle derivate, si ottiene

${\frac {\partial F}{\partial f'}}=2{\frac {p(x)}{f'^{3}(x)}}$

${\frac {d}{dx}}{\frac {p(x)}{f'^{3}(x)}}={\frac {p'(x)}{f'^{3}(x)}}-{\frac {3\ p(x)\ f''(x)}{f'^{4}(x)}}$

(4.8)