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Codifica numerica del segnale audio

in funzione della distribuzione delle ampiezze del segnale p(x). A tal fine, è necessario determinare la caratteristica che minimizzi il funzionale dell’errore

$J=\int _{0}^{V}{\frac {p(x)}{f'^{2}(x)}}dx=\int _{0}^{2}F[x,f'(x)]dx$

(4.1)

Tale caratteristica deve essere trovata nella famiglia di curve f(x) + ε μ(x), ottenute tramite una variazione della f(x) ottima, nel caso di estremi vincolati f(0) = 0; f(V) = V (cioè μ(0) = μ(V) = 0) (fig. 4.2). Per la ricerca del minimo, si calcola l’incremento del funzionale a seguito della variazione della f(x), che, nel caso più generale di F = F[x, f(x), f'(x ], è dato da

$\Delta J=J[x,f(x)+\epsilon \mu (x),f'(x)+\epsilon \mu '(x)]-J[x,f(x),f'(x)]$

$=\int _{0}^{V}F[x,f(x)+\epsilon \mu (x),f'(x)+\epsilon \mu '(x)]-F[x,f(x),f'(x)]$

(4.2)

È conveniente approssimare tale incremento tramite un suo sviluppo in serie di Taylor. A questo proposito si consideri che l'incremento (εμ per la f(x) e εμ' per la f’(x)) non interessa la x, per cui la derivata parziale della F relativa alla x si annulla. Lo sviluppo porta alla seguente espressione

$\Delta J=\int _{0}^{V}\epsilon \left({\frac {\partial F}{\partial f}}\mu +{\frac {\partial F}{\partial f'}}\mu '\right)dx$

(4.3)

Separando i due termini dell’integrale ed integrando per parti il secondo termine, si ottiene

$\Delta J=\epsilon \int _{0}^{V}\mu {\frac {\partial F}{\partial f}}dx+\left\{\epsilon \mu {\frac {\partial F}{\partial f'}}\right\}_{0}^{V}-\epsilon \int _{0}^{V}\mu {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}dx$

(4.4)

Dato che μ(V) = μ(0) = 0, il termine centrale dell’espressione è nullo, per cui

$\Delta J=\epsilon \int _{0}^{V}\mu \left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial F}{\partial f'}}\right)\right]dx$

(4.5)