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Giovanni Giuseppe Nicosia ― Cinesi, scuola e matematica ― Bologna, Italia ― 2010

Le formule di Erone di Alessandria e Qín Jiǔshào (秦九劭) per l’area di un triangolo

Dato un triangolo di lati a, b, c la Formula di Erone stabilisce che l’area A vale:

$\textstyle (\alpha )\qquad A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ in cui $\textstyle s={\frac {a+b+c}{2}}$ è il semiperimetro.

Esplicitando s si ha: $\textstyle A={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\left({\frac {a+b+c}{2}}-a\right)\left({\frac {a+b+c}{2}}-b\right)\left({\frac {a+b+c}{2}}-c\right)}}=$$\textstyle ={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\left({\frac {a+b+c-2a}{2}}\right)\left({\frac {a+b+c-2b}{2}}\right)\left({\frac {a+b+c-2c}{2}}\right)}}=$$\textstyle ={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\left({\frac {b+c-a}{2}}\right)\left({\frac {a+c-b}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}=$$\textstyle ={\sqrt {\frac {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{2}}}=$$\textstyle ={\frac {\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}{4}}.$ Svolgendo i calcoli e facendo qualche raccoglimento:

$\textstyle (\beta )\qquad A={\sqrt {\frac {-(a4+b4+c4)+2(a2b2+a2c2+b2c2)}{16}}}$ che è un’espressione equivalente.

Qín Jiǔshào (秦九劭) propone la seguente:

$\textstyle (\gamma )\qquad A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a2c2-\left({\frac {a2+c2-b2}{2}}\right)2}}$ che è equivalente a quella di Erone (α). Infatti:

$\textstyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a2c2-\left({\frac {a2+c2-b2}{2}}\right)2}}={\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {4a2c2-(a2+c2-b2)2}{4}}}}=$$\textstyle ={\sqrt {\frac {4a2c2-(a4+c4-b4+2a2c2-2a2b2-2b2c2)}{16}}}=$$\textstyle ={\sqrt {\frac {-a4-c4-b4+2a2c2+2a2b2+2b2c2}{16}}}=$$\textstyle ={\sqrt {\frac {-(a4+b4+c4)+2(a2b2+a2c2+b2c2)}{16}}}$ che è esattamente l’espressione (β) che già sappiamo essere equivalente ad (α). La versione (α) è però più semplice da calcolare.

3.2.24 Zhū Shijie (朱世杰)

Visse a cavallo del XIII e del XIV secolo, viaggiò per anni per tutta la Cina come docente di matematica nei diversi centri di studio e scrisse due opere che sono arrivate sino ai nostri giorni. La prima è il manuale elementare Introduzione allo studio del calcolo (算学启蒙 Suànxué Qǐméng, 1299) in cui quattro problemi iniziali illustrano le operazioni aritmetiche ed algebriche e poi seguono 284 problemi ed esercizi. Vi si espongono anche metodi di misura di aree e volumi. Questo libro ebbe una straordinaria importanza nello sviluppo della matematica in tutta l’Asia estremorientale.

La seconda è il Prezioso specchio di giada dei quattro elementi (四元玉鉴 Sìyuán Yùjiàn, 1303) che è uno dei testi fondamentali dell’algebra cinese. Come nel libro precedente quattro problemi iniziali servono ad illustrare metodi risolutivi (delle quattro incognite) con cui affrontare 288 problemi seguenti. Ci sono pagine interessanti dedicate alla conversione di un problema espresso verbalmente in

Giovanni Giuseppe Nicosia — Cinesi, scuola e matematica — Bologna, Italia — 2010