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Giovanni Giuseppe Nicosia — Cinesi, scuola e matematica — Bologna, Italia — 2010

Esiste però un metodo più affascinante (Bagni, 1996).

L’elemento della casella centrale A₂₂ compare nelle somme degli elementi delle due diagonali e della riga e della colonna centrali. Se facciamo la somma di tutti questi elementi coinvolgiamo tutte le caselle del quadrato una volta, salvo quella centrale che interviene coinvolta quattro volte:

(A₁₁+A₂₂+A₃₃)+(A₁₃+A₂₂+A₃₁)+(A₁₂+A₂₂+A₃₂)+(A₂₁+A₂₂+A₂₃)=

(A₁₁+A₁₂+A₁₃+A₂₁+A₂₂+A₂₃+A₃₁+A₃₂+A₃₃)+3 × A₂₂

le quattro somme nelle parentesi a primo membro valgono tutte 15 mentre la somma nella parentesi a secondo membro è la somma di tutti gli elementi del quadrato magico normale di lato 3, cioè di tutti i numeri naturali da 1 a 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45, per cui l’equazione diviene:

4×15=45+3×A₂₂

da cui: 60=45+3×A₂₂ ⇔ 60-45=3×A₂₂ ⇔ 15=3×A₂₂ ⇔ A₂₂=${\frac {15}{3}}$ ⇔ A₂₂=5

Possiamo piazzare il primo numero sicuro:

	5

Per riempire la altre caselle consideriamo che 5 non compare più, quindi la nostra scelta si limita a 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Inoltre le somme degli elementi che vanno nelle caselle esterne delle due diagonali e della riga e della colonna centrali valgono 10 (A₁₁+5+A₃₃=15 ⇔ A₁₁+A₃₃=10 e così analogamente per tutte le altre). Le coppie di numeri disponibili che hanno per somma 10 sono: 1 e 9, 2 e 8, 3 e 7, 4 e 6. proviamo quindi a piazzarle nello schema nelle due caselle esterne di una diagonale o della riga o della colona centrali. Le scelte che si fanno a questo punto determinano quale degli otto quadrati magici normali di lato 3 possibili si otterrà. Prendiamo la prima coppia: 1 e 9 e proviamo a sistemarla:

1
	5
		9

	1
	5
	9

		1
	5
9

9	5	1

9
	5
		1

	9
	5
	1

		9
	5
1

1	5	9

In realtà la casistica si riconduce a soli due casi, quello del primo quadrato (con 1 e 9 nella diagonale) e quello del secondo (con 1 e 9 in una riga o colonna centrale); negli altri tutto è analogo.

Nel caso della diagonale, però, incontreremmo insormontabili difficoltà a completare le righe e le colonne con le coppie di numeri disponibili: 2 e 8, 3 e 7, 4 e 6. Infatti per ottenere 15 da 1 possiamo sommarlo, oltre che a 5 e 9, solo ad 8 e 6, che possono essere inseriti in due modi e poi per ognuno anche per l’ultima coppia abbiamo due scelte:

1	6	8
7	5	3
2	4	9

←

1	6	8
	5
2	4	9

←

1
	5
		9

→

1	8	6
	5
4	2	9

→

1	8	6
3	5	7
4	2	9

$\downarrow \;$

$\downarrow \;$

1	6	8
3	5	7
2	4	9

1	8	6
7	5	3
4	2	9