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Giovanni Giuseppe Nicosia — Cinesi, scuola e matematica — Bologna, Italia — 2010

La sua costante magica e 72 = 15 + 3 ×19.

Costruzione di quadrati magici

Numero dei quadrati possibili

La ricerca matematica in questo campo è legata all’algebra ed ha ottenuto risultati interessanti. Ad esempio si è dimostrato che, contando una sola volta quelli equivalenti, i quadrati magici normali di lato 1 sono solo 1, 0 di lato 2, 1 di lato 3, ben 880 di lato 4, e addirittura 275.305.224 di lato 5. Per lati maggiori il problema è ancora aperto. Con l’eccezione di 2, esistono quadrati magici normali di ogni lato.

Quelli di lato 1 sono banali e non ci interessano. Non esistono quadrati magici normali di lato 2 e tutti i quadrati magici di questa dimensione riportano lo stesso numero in tutte le caselle. Vediamo ora alcuni metodi per ottenere quadrati magici normali. Essi variano a seconda del lato.

Lato 3

Essi sono tutti e soli gli otto indicati sopra, cioè quello del fiume Luò ed i suoi equivalenti. Fingiamo di non saperlo ma ricordiamo che un quadrato magico normale di lato 3 conterrà tutti i numeri naturali da 1 a 32 = 9. La costante magica sarà $\textstyle M={\frac {1+2+...+9}{3}}={\frac {45}{3}}=15$ . Ora ci resta da capire come collocare i numeri nel quadrato di nove caselle.

Per comodità denominiamo gli elementi del quadrato col formalismo in uso per le matrici, cioè intendendo con A₁₃ l’elemento della casella appartenente alla prima riga ed alla terza colonna. Il quadrato diviene dunque:

A₁₁	A₁₂	A₁₃
A₂₁	A₂₂	A₂₃
A₃₁	A₃₂	A₃₃

Essendo noto il valore di tutte le somme per riga, colonna e diagonale e conoscendo il valore della somma di tutti gli elementi del quadrato potremmo impostare un sistema di nove equazioni in nove incognite e tentare di risolverlo:

$\left\{{\begin{array}{l}A_{11}+A_{12}+A_{13}=15\\A_{21}+A_{22}+A_{23}=15\\A_{31}+A_{32}+A_{33}=15\\A_{11}+A_{12}+A_{13}=15\\A_{12}+A_{22}+A_{33}=15\\A_{13}+A_{23}+A_{33}=15\\A_{11}+A_{22}+A_{33}=15\\A_{31}+A_{22}+A_{13}=15\\A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{21}+A_{22}+\\A_{23}+A_{31}+A_{32}+A_{33}=45\end{array}}\right.$ con vincoli: ${\begin{array}{l}A_{ij}\in \{1,2,3,4,5,6\}\\i,j=1,2,3\\\land \\A_{ij}\neq \;A_{kt}\\i,j,k,t\in \{1,2,3\},\\i\neq \;k\vee j\neq \;t\end{array}}$

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