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Pare che al SZÀSZ si debba l'idea esplicita di considerare la parallela ad AM condotta per B come la posizione limite di una secante BC, che ruota intorno a B in un senso determinato; cioè di considerare BC parallela ad AM, quando BC, secondo una espressione di SZÀSZ, si stacca [abspringe] da AM. Bolyai chiamava questa parallela col nome di parallela asintotica o asintoto [cfr. Saccheri]. Nei colloqui dei due amici si presentarono il concetto di linea di equidistanza da una retta; l'altro importantissimo di paraciclo [oriciclo di Lobacefski] e si riconobbe che si sarebbe ottenuta la dimostrazione dell'assioma XI se si potesse stabilire che il paraciclo è una retta.
Avendo sul principio del 1821 lo SZÀSZ lasciato Vienna, per assumere l'insegnamento del Diritto al Collegio di Nagy-Enyed [Ungheria], GIOVANNI rimase solo a proseguire nelle sue speculazioni. Fino al 1820 egli fu dominato dall'idea di trovare una dimostrazione per 1'assioma XI, seguendo una via analoga a quella di Saccheri e Lambert. Anzi credè d'aver raggiunto lo scopo, come risulta dalla sua corrispondenza col padre.
Il riconoscimento degli errori commessi fu per GIOVANNI il passo decisivo verso le future scoperte, perchè s'accorse «
